Kapitel IV: Ganzrationale Funktionen

IV.1 Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

Definition

Eine ganzrationale Funktion (Polynomfunktion) vom Grad $n$ hat die Form: $$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \quad a_n \neq 0$$

• $a_n$: führender Koeffizient
• $n$: Grad des Polynoms

Spezialfälle: Grad 1 (lineare Funktion), Grad 2 (quadratische Funktion), Grad 3 (kubische Funktion).

Verhalten für $x \to \pm\infty$

Das Verhalten im Unendlichen wird ausschließlich vom führenden Term $a_n x^n$ bestimmt:

$n$	$a_n > 0$	$a_n < 0$
gerade	$\nearrow$ für $x \to \pm\infty$	$\searrow$ für $x \to \pm\infty$
ungerade	$\searrow$ für $x \to -\infty$, $\nearrow$ für $x \to +\infty$	$\nearrow$ für $x \to -\infty$, $\searrow$ für $x \to +\infty$

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Ganzrationale Funktionen sind auf ganz $\mathbb{R}$ stetig und beliebig oft differenzierbar – ihr Graph hat keine Lücken, Sprünge oder Knicke.

Potenzfunktionen x^n für verschiedene Grade — gerade Exponenten: Parabelform; ungerade: S-Form

→ Aufgaben: Ganzrationale Funktionen und Potenzfunktionen

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IV.2 Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Definition und Vielfachheit

$x_0$ ist eine Nullstelle von $p$, wenn $p(x_0) = 0$.

Die Vielfachheit einer Nullstelle bestimmt das Verhalten des Graphen:

Vielfachheit	Grafisches Verhalten	Beispiel
$k = 1$ (einfach)	Graph schneidet die $x$-Achse	$p(x) = (x-2)$
$k = 2$ (doppelt)	Graph berührt die $x$-Achse, kein VZW	$p(x) = (x-2)^2$
$k = 3$ (dreifach)	Graph schneidet mit Wendepunkt (VZW)	$p(x) = (x-2)^3$
$k$ gerade	Berühren, kein VZW
$k$ ungerade	Schneiden, VZW

Faktorisierte Form

Sind $x_1, x_2, \ldots, x_m$ alle Nullstellen mit Vielfachheiten $k_1, k_2, \ldots, k_m$, gilt: $$p(x) = a_n \cdot (x - x_1)^{k_1} \cdot (x - x_2)^{k_2} \cdots (x - x_m)^{k_m}$$

Es gilt: $k_1 + k_2 + \cdots + k_m \leq n$

Nullstellen berechnen

Einfache Fälle: - Ausklammern: $p(x) = x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2)$ - Substitution: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \xrightarrow{u = x^2} u^2 - 5u + 4 = 0$

Polynomdivision: Ist $x_0$ eine bekannte Nullstelle, teile $p(x) \div (x - x_0)$ aus.

f(x) = x³ − 3x mit einfachen Nullstellen bei −√3, 0, √3

→ Aufgaben: Nullstellen, Symmetrie und Kurvendiskussion

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IV.3 Symmetrie von Funktionsgraphen

Achsensymmetrie (gerade Funktion)

$p$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn: $$p(-x) = p(x) \quad \text{für alle } x$$

Kennzeichen: Das Polynom enthält nur gerade Potenzen ($x^0, x^2, x^4, \ldots$).

Beispiel: $p(x) = 3x^4 - 2x^2 + 1$ (gerade Funktion)

Punktsymmetrie (ungerade Funktion)

$p$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn: $$p(-x) = -p(x) \quad \text{für alle } x$$

Kennzeichen: Das Polynom enthält nur ungerade Potenzen ($x^1, x^3, x^5, \ldots$).

Beispiel: $p(x) = 2x^3 - 5x$ (ungerade Funktion)

Vorgehen beim Nachweis

Um Symmetrie zu prüfen: $p(-x)$ ausrechnen und mit $p(x)$ bzw. $-p(x)$ vergleichen.

Falls weder $p(-x) = p(x)$ noch $p(-x) = -p(x)$ gilt → keine Symmetrie.

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IV.4 Polynomdarstellung und Grad

Faktorform und Normalform

• Ausmultiplizieren: Faktorform $(x-x_1)(x-x_2)\cdots \to$ Normalform
• Faktorisieren: Normalform $\to$ Faktorform (nach Nullstellenbestimmung)
• Polynom aus Nullstellen: $p(x) = a \cdot (x - x_1)^{k_1} \cdots (x - x_m)^{k_m}$, Leitkoeffizient $a$ aus Zusatzbedingung

Grad des Produkts

$$\deg(f \cdot g) = \deg(f) + \deg(g)$$

Koeffizientenvergleich

Gilt $p(x) = q(x)$ für alle $x$, so sind alle Koeffizienten gleich — damit lassen sich unbekannte Parameter bestimmen.

f(x) = 2(x+1)(x−2)(x−4) — Nullstellen aus Faktorform direkt ablesbar

→ Aufgaben: Polynomdarstellung und Grad

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Rückblick: Wichtige Zusammenhänge

$$p(x) = a_n x^n + \cdots + a_0 \qquad \text{Nullstelle } x_0: p(x_0) = 0$$

Vielfachheit und Verhalten: - $k$ gerade $\Rightarrow$ Berühren der $x$-Achse - $k$ ungerade $\Rightarrow$ Schneiden der $x$-Achse

Symmetrie: - Nur gerade Potenzen $\Rightarrow$ achsensymmetrisch - Nur ungerade Potenzen $\Rightarrow$ punktsymmetrisch