Polynomdarstellung und Grad

Klasse 10

Aufgaben

Aufgabe 1

L

Multipliziere aus und gib die Normalform an:

$$f(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3)$$

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Aufgabe 2

L

Multipliziere aus:

$$f(x) = (3x - 1)(2x^2 + x - 1)$$

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Aufgabe 3

L

Stelle ein Polynom 3. Grades mit den Nullstellen $x_1 = 2$, $x_2 = -1$, $x_3 = 0$ und Leitkoeffizient $3$ auf.

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Aufgabe 4

L

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 12$ hat Nullstellen bei $x = 2$ und $x = -2$.

1. Stelle ein Gleichungssystem für $a$ und $b$ auf.
2. Löse es und gib $f(x)$ vollständig an.

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Aufgabe 5

L

Faktorisiere vollständig und bestimme alle reellen Nullstellen:

$$f(x) = (x^2 - 4)(x^2 - 9)$$

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Aufgabe 6

L

Die Abbildung zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades mit seinen Nullstellen.

Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades

1. Lies die Nullstellen ab und stelle $f$ in der Faktorform $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ auf — der Leitkoeffizient $a$ bleibt zunächst offen.
2. Lies den $y$-Achsenabschnitt ab und bestimme damit $a$.
3. Gib $f$ in Normalform an.

Aufgabe 7

L

Stelle ein Polynom 4. Grades auf, das genau die Nullstellen $x = \pm 3$ und $x = \pm 7$ (alle einfach) hat und den Wert $f(0) = 441$ besitzt.

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Aufgabe 8

L

Gegeben ist $f(x) = (x^5 - 1)(x^5 + 1)$.

1. Bestimme Grad und Leitkoeffizient ohne auszumultiplizieren.
2. Berechne $f(1)$ und $f(-1)$.
3. Ist $x = 1$ eine Nullstelle? Mit welcher Vielfachheit?

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Lösungen

Lösung 1

Erst die letzten beiden Klammern:

$$(x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3$$

Dann mit $(x+2)$:

$$(x+2)(x^2 - 4x + 3) = x^3 - 4x^2 + 3x + 2x^2 - 8x + 6 = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$$

$$\boxed{f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6}$$

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Lösung 2

$$(3x-1)(2x^2 + x - 1)$$

$$= 3x \cdot (2x^2 + x - 1) - 1 \cdot (2x^2 + x - 1)$$

$$= 6x^3 + 3x^2 - 3x - 2x^2 - x + 1$$

$$\boxed{f(x) = 6x^3 + x^2 - 4x + 1}$$

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Lösung 3

Faktorform: $f(x) = 3 \cdot x \cdot (x - 2)(x + 1)$

Ausmultiplizieren: $(x-2)(x+1) = x^2 - x - 2$

$$f(x) = 3x(x^2 - x - 2) = 3x^3 - 3x^2 - 6x$$

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Lösung 4

1. $f(2) = 0$: $$8 + 4a + 2b - 12 = 0 \;\Rightarrow\; 4a + 2b = 4 \;\Rightarrow\; 2a + b = 2 \tag{I}$$

$f(-2) = 0$: $$-8 + 4a - 2b - 12 = 0 \;\Rightarrow\; 4a - 2b = 20 \;\Rightarrow\; 2a - b = 10 \tag{II}$$

2. $(I) + (II)$: $4a = 12 \Rightarrow a = 3$; aus $(I)$: $b = 2 - 6 = -4$.

$$f(x) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12$$

Probe (Faktorisieren): $f(x) = x^2(x+3) - 4(x+3) = (x^2-4)(x+3) = (x-2)(x+2)(x+3)$ ✓

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Lösung 5

Faktorisieren:

$$(x^2-4)(x^2-9) = (x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$$

Nullstellen: $x_{1,2} = \pm 2$, $\;\; x_{3,4} = \pm 3$

$$\mathbb{L} = \{-3,\; -2,\; 2,\; 3\}$$

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Lösung 6

1. Nullstellen bei $x_1 = -1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 4$, also

$$f(x) = a\,(x+1)(x-2)(x-4)$$

2. Der Graph schneidet die $y$-Achse bei $16$, also $f(0) = 16$:

$$a\,(0+1)(0-2)(0-4) = a \cdot 8 = 16 \;\Longrightarrow\; a = 2$$

$$f(x) = 2\,(x+1)(x-2)(x-4)$$

3. Ausmultiplizieren, zuerst die hinteren beiden Klammern:

$$(x-2)(x-4) = x^2 - 6x + 8$$

$$(x+1)\left(x^2 - 6x + 8\right) = x^3 - 5x^2 + 2x + 8$$

$$f(x) = 2x^3 - 10x^2 + 4x + 16$$

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Lösung 7

Faktorform: $f(x) = a(x-3)(x+3)(x-7)(x+7) = a(x^2-9)(x^2-49)$

Bedingung $f(0) = 441$:

$$a \cdot (-9) \cdot (-49) = 441 \;\Rightarrow\; 441a = 441 \;\Rightarrow\; a = 1$$

$$f(x) = (x^2-9)(x^2-49) = x^4 - 58x^2 + 441$$

Das Vorgehen ist identisch zu Aufgabe 3 — nur mit anderen Nullstellen und einer Normierungsbedingung.

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Lösung 8

1. $\deg(x^5 - 1) = 5$, $\deg(x^5 + 1) = 5$, also $\deg(f) = 5 + 5 = 10$.

Leitterm: $x^5 \cdot x^5 = x^{10}$, Leitkoeffizient $= 1$.

2. $f(1) = (1-1)(1+1) = 0 \cdot 2 = 0$

$f(-1) = ((-1)^5 - 1)((-1)^5 + 1) = (-2)(0) = 0$

3. Ja, $x=1$ ist Nullstelle. Im ersten Faktor: $x^5-1 = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$, also tritt $(x-1)$ genau einmal auf — Vielfachheit $\mathbf{1}$.