Polynomdarstellung und Grad

Klasse 10

Grundidee

Faktorform ↔︎ Normalform:

• Ausmultiplizieren: Faktorform $(x-x_1)(x-x_2)\cdots$ → Normalform $a_n x^n + \cdots + a_0$
• Faktorisieren: Normalform → Faktorform (nach Nullstellenbestimmung)

Polynom aus Nullstellen aufstellen:

$$f(x) = a \cdot (x - x_1)^{k_1} \cdot (x - x_2)^{k_2} \cdots$$

Leitkoeffizient $a$ aus einer zusätzlichen Bedingung (z.B. $f(0) = \ldots$ oder gegebener Wert) bestimmen.

Grad:

• $\deg(f \cdot g) = \deg(f) + \deg(g)$
• $\deg(f + g) \leq \max(\deg f,\; \deg g)$

Koeffizientenvergleich: Gilt $f(x) = g(x)$ für alle $x$, so sind alle Koeffizienten gleich.

f(x) = 2(x+1)(x−2)(x−4) — Nullstellen aus Faktorform direkt ablesbar

---

Aufgaben

Aufgabe 1

L

Multipliziere aus und gib die Normalform an:

$$f(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3)$$

---

Aufgabe 2

L

Multipliziere aus:

$$f(x) = (3x - 1)(2x^2 + x - 1)$$

---

Aufgabe 3

L

Stelle ein Polynom 3. Grades mit den Nullstellen $x_1 = 2$, $x_2 = -1$, $x_3 = 0$ und Leitkoeffizient $3$ auf.

---

Aufgabe 4

L

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 12$ hat Nullstellen bei $x = 2$ und $x = -2$.

1. Stelle ein Gleichungssystem für $a$ und $b$ auf.
2. Löse es und gib $f(x)$ vollständig an.

---

Aufgabe 5

L

Faktorisiere vollständig und bestimme alle reellen Nullstellen:

$$f(x) = (x^2 - 4)(x^2 - 9)$$

---

Aufgabe 6 (absurd)

L

Stelle ein Polynom 4. Grades auf, das genau die Nullstellen $x = \pm 3$ und $x = \pm 7$ (alle einfach) hat und den Wert $f(0) = 441$ besitzt.

---

Aufgabe 7 (absurd)

L

Gegeben ist $f(x) = (x^5 - 1)(x^5 + 1)$.

1. Bestimme Grad und Leitkoeffizient ohne auszumultiplizieren.
2. Berechne $f(1)$ und $f(-1)$.
3. Ist $x = 1$ eine Nullstelle? Mit welcher Vielfachheit?

---

Lösungen

Lösung 1

Erst die letzten beiden Klammern:

$$(x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3$$

Dann mit $(x+2)$:

$$(x+2)(x^2 - 4x + 3) = x^3 - 4x^2 + 3x + 2x^2 - 8x + 6 = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$$

$$\boxed{f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6}$$

---

Lösung 2

$$(3x-1)(2x^2 + x - 1)$$

$$= 3x \cdot (2x^2 + x - 1) - 1 \cdot (2x^2 + x - 1)$$

$$= 6x^3 + 3x^2 - 3x - 2x^2 - x + 1$$

$$\boxed{f(x) = 6x^3 + x^2 - 4x + 1}$$

---

Lösung 3

Faktorform: $f(x) = 3 \cdot x \cdot (x - 2)(x + 1)$

Ausmultiplizieren: $(x-2)(x+1) = x^2 - x - 2$

$$f(x) = 3x(x^2 - x - 2) = 3x^3 - 3x^2 - 6x$$

---

Lösung 4

1. $f(2) = 0$: $$8 + 4a + 2b - 12 = 0 \;\Rightarrow\; 4a + 2b = 4 \;\Rightarrow\; 2a + b = 2 \tag{I}$$

$f(-2) = 0$: $$-8 + 4a - 2b - 12 = 0 \;\Rightarrow\; 4a - 2b = 20 \;\Rightarrow\; 2a - b = 10 \tag{II}$$

2. $(I) + (II)$: $4a = 12 \Rightarrow a = 3$; aus $(I)$: $b = 2 - 6 = -4$.

$$f(x) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12$$

Probe (Faktorisieren): $f(x) = x^2(x+3) - 4(x+3) = (x^2-4)(x+3) = (x-2)(x+2)(x+3)$ ✓

---

Lösung 5

Faktorisieren:

$$(x^2-4)(x^2-9) = (x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$$

Nullstellen: $x_{1,2} = \pm 2$, $\;\; x_{3,4} = \pm 3$

$$\mathbb{L} = \{-3,\; -2,\; 2,\; 3\}$$

---

Lösung 6

Faktorform: $f(x) = a(x-3)(x+3)(x-7)(x+7) = a(x^2-9)(x^2-49)$

Bedingung $f(0) = 441$:

$$a \cdot (-9) \cdot (-49) = 441 \;\Rightarrow\; 441a = 441 \;\Rightarrow\; a = 1$$

$$f(x) = (x^2-9)(x^2-49) = x^4 - 58x^2 + 441$$

Das Vorgehen ist identisch zu Aufgabe 3 — nur mit anderen Nullstellen und einer Normierungsbedingung.

---

Lösung 7

1. $\deg(x^5 - 1) = 5$, $\deg(x^5 + 1) = 5$, also $\deg(f) = 5 + 5 = 10$.

Leitterm: $x^5 \cdot x^5 = x^{10}$, Leitkoeffizient $= 1$.

2. $f(1) = (1-1)(1+1) = 0 \cdot 2 = 0$

$f(-1) = ((-1)^5 - 1)((-1)^5 + 1) = (-2)(0) = 0$

3. Ja, $x=1$ ist Nullstelle. Im ersten Faktor: $x^5-1 = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$, also tritt $(x-1)$ genau einmal auf — Vielfachheit $\mathbf{1}$.