Ganzrationale Funktionen und Potenzfunktionen

Klasse 10

Grundidee

Eine ganzrationale Funktion (Polynom) ist eine Summe von Potenzfunktionen:

$$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \qquad a_n \neq 0$$

• Grad $n$: höchste vorkommende Potenz (mit Koeffizient $\neq 0$)
• Leitkoeffizient $a_n$: Koeffizient der höchsten Potenz
• Keine negativen Exponenten, keine Wurzeln — nur ganzzahlige Potenzen $\geq 0$
• Auswerten: $f(c)$ durch Einsetzen von $x = c$ berechnen

Potenzfunktionen x^n für verschiedene Grade

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Aufgaben

Aufgabe 1

L

Bestimme Grad und Leitkoeffizient von $f(x) = 4x^3 - 2x + 7$.

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Aufgabe 2

L

Gegeben ist $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$.

1. Berechne $f(2)$ und $f(-1)$.
2. Für welches $x$ gilt $f(0)$? (Lies den Wert direkt ab.)

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Aufgabe 3

L

Entscheide jeweils mit Begründung, ob es sich um eine ganzrationale Funktion handelt:

1. $f(x) = 3x^4 - \sqrt{x} + 2$
2. $g(x) = x^3 - \dfrac{1}{x} + 5$
3. $h(x) = 5x^2 - x + \pi$
4. $k(x) = x^{-2} + 3x$

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Aufgabe 4

L

Gegeben ist $f(x) = ax^3 + bx^2 - x + 4$. Bestimme $a$ und $b$ aus den Bedingungen $f(1) = 7$ und $f(-1) = 1$.

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Aufgabe 5

L

Beschreibe das Verhalten von $f(x) = -2x^4 + 100x^2 - 500$ für $x \to +\infty$ und $x \to -\infty$.

Hinweis: Nur der Leitterm ist für das Grenzverhalten entscheidend.

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Aufgabe 6 (absurd)

L

Gegeben ist $f(x) = x^{1001} - x^{999} + x^2 - 1$.

1. Bestimme Grad und Leitkoeffizient.
2. Berechne $f(1)$ und $f(-1)$.
3. Was ergibt $f(0)$?

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Aufgabe 7 (absurd)

L

Gegeben ist $f(x) = (x^2 - 1)^{50} + x$.

1. Bestimme Grad und Leitkoeffizient, ohne auszumultiplizieren.
2. Welchen Wert hat $f(0)$?
3. Handelt es sich um eine ganzrationale Funktion? Begründe.

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Lösungen

Lösung 1

Höchste Potenz ist $x^3$ mit Koeffizient $4$:

$$\text{Grad} = 3, \qquad \text{Leitkoeffizient} = 4$$

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Lösung 2

1. $f(2) = 8 - 12 + 4 - 1 = -1$

$f(-1) = -1 - 3 - 2 - 1 = -7$

2. $f(0) = 0 - 0 + 0 - 1 = -1$ — der konstante Term $a_0$ ist direkt der Funktionswert bei $x=0$.

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Lösung 3

1. Nein — $\sqrt{x} = x^{1/2}$ ist kein ganzzahliger Exponent.

2. Nein — $\frac{1}{x} = x^{-1}$ hat negativen Exponenten.

3. Ja — $\pi$ ist nur eine reelle Konstante; alle Exponenten ($2, 1, 0$) sind nichtnegative ganze Zahlen.

4. Nein — $x^{-2}$ hat negativen Exponenten.

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Lösung 4

Einsetzen:

$$f(1) = a + b - 1 + 4 = a + b + 3 = 7 \quad\Rightarrow\quad a + b = 4 \tag{I}$$

$$f(-1) = -a + b + 1 + 4 = -a + b + 5 = 1 \quad\Rightarrow\quad -a + b = -4 \tag{II}$$

$(I) + (II)$: $2b = 0 \Rightarrow b = 0$; aus $(I)$: $a = 4$.

$$f(x) = 4x^3 - x + 4$$

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Lösung 5

Leitterm: $-2x^4$. Da Grad $4$ (gerade) und Leitkoeffizient $-2 < 0$:

$$x \to +\infty: \quad f(x) \to -\infty$$ $$x \to -\infty: \quad f(x) \to -\infty$$

Der Graph verläuft auf beiden Seiten nach unten (wie $-x^4$).

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Lösung 6

1. Höchste Potenz $x^{1001}$: Grad $= 1001$, Leitkoeffizient $= 1$.

2. $f(1) = 1 - 1 + 1 - 1 = 0$

$f(-1) = -1 + 1 + 1 - 1 = 0$

3. $f(0) = 0 - 0 + 0 - 1 = -1$

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Lösung 7

1. $(x^2 - 1)^{50}$ hat als höchsten Term $(x^2)^{50} = x^{100}$ mit Leitkoeffizient $1$.

Das addierte $x$ ändert den Grad nicht:

$$\text{Grad} = 100, \qquad \text{Leitkoeffizient} = 1$$

2. $f(0) = (0 - 1)^{50} + 0 = (-1)^{50} = 1$

3. Ja — $(x^2-1)^{50}$ ist ein Produkt von Polynomen, also selbst ein Polynom; $+x$ ändert das nicht. Alle entstehenden Exponenten sind nichtnegative ganze Zahlen.