Nullstellen, Symmetrie und Kurvendiskussion

Klasse 10

Grundidee

Nullstellen ($f(x) = 0$ lösen):

• Ausklammern, Substitution oder Mitternachtsformel
• Vielfachheit $k$ bei Nullstelle $x_0$: $f(x) = (x - x_0)^k \cdot \ldots$
  • $k$ ungerade → Vorzeichenwechsel (Graph schneidet x-Achse)
  • $k$ gerade → kein Vorzeichenwechsel (Graph berührt x-Achse)

Symmetrie (Probe: $-x$ einsetzen):

• $f(-x) = f(x)$: achsensymmetrisch zur $y$-Achse (nur gerade Potenzen)
• $f(-x) = -f(x)$: punktsymmetrisch zum Ursprung (nur ungerade Potenzen)

Grenzverhalten (nur Leitterm $a_n x^n$ zählt):

$a_n$	$n$ gerade	$n$ ungerade
$> 0$	$f \to +\infty$ beidseitig	$f \to -\infty$ links, $+\infty$ rechts
$< 0$	$f \to -\infty$ beidseitig	$f \to +\infty$ links, $-\infty$ rechts

f(x) = x³ − 3x mit Nullstellen und Grenzverhalten

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Aufgaben

Aufgabe 1

L

Bestimme alle Nullstellen von $f(x) = x^3 - 3x$.

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Aufgabe 2

L

Bestimme alle Nullstellen von $f(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ durch Substitution.

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Aufgabe 3

L

Untersuche jeweils die Symmetrie (mit Probe $f(-x)$):

1. $f(x) = x^4 - 3x^2 + 1$
2. $g(x) = x^5 - 2x^3 + x$
3. $h(x) = x^3 + x^2$

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Aufgabe 4

L

Führe eine vollständige Kurvendiskussion für $f(x) = x^3 - x^2 - 2x$ durch:

1. Symmetrie untersuchen
2. Nullstellen bestimmen
3. Verhalten für $x \to \pm\infty$ angeben
4. Skizziere den Graphen (grob).

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Aufgabe 5

L

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat die Nullstellen $x_1 = -2$ (doppelt) und $x_2 = 1$ (einfach), Leitkoeffizient $1$.

1. Stelle den Funktionsterm auf.
2. Beschreibe das Verhalten des Graphen an den Nullstellen (schneidet / berührt).

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Aufgabe 6 (absurd)

L

Bestimme alle reellen Nullstellen von $f(x) = x^{200} - x^{100}$ durch Substitution.

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Aufgabe 7 (absurd)

L

Sei $n \in \mathbb{N}$ beliebig. Betrachte $f(x) = x^{2n+1} - x$.

1. Welche Symmetrie hat $f$?
2. Bestimme alle reellen Nullstellen in Abhängigkeit von $n$.
3. Wie viele Nullstellen hat $f$ insgesamt?

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Lösungen

Lösung 1

Ausklammern: $f(x) = x(x^2 - 3) = 0$

$$x_1 = 0, \qquad x^2 = 3 \;\Rightarrow\; x_{2,3} = \pm\sqrt{3}$$

$$\mathbb{L} = \{-\sqrt{3},\; 0,\; \sqrt{3}\}$$

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Lösung 2

Substitution $u = x^2$ ($u \geq 0$):

$$u^2 - 5u + 4 = 0 \;\Rightarrow\; (u-1)(u-4) = 0 \;\Rightarrow\; u_1 = 1,\; u_2 = 4$$

Resubstitution:

$$x^2 = 1 \;\Rightarrow\; x = \pm 1 \qquad x^2 = 4 \;\Rightarrow\; x = \pm 2$$

$$\mathbb{L} = \{-2,\; -1,\; 1,\; 2\}$$

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Lösung 3

1. $f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)$

→ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ✓

2. $g(-x) = (-x)^5 - 2(-x)^3 + (-x) = -x^5 + 2x^3 - x = -(x^5 - 2x^3 + x) = -g(x)$

→ punktsymmetrisch zum Ursprung ✓

3. $h(-x) = (-x)^3 + (-x)^2 = -x^3 + x^2$

$-x^3 + x^2 \neq h(x)$ und $-x^3 + x^2 \neq -h(x)$

→ keine Symmetrie

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Lösung 4

1. $f(-x) = -x^3 - x^2 + 2x \neq \pm f(x)$ → keine Symmetrie

2. Ausklammern: $f(x) = x(x^2 - x - 2) = x(x-2)(x+1)$

$$x_1 = 0,\quad x_2 = 2,\quad x_3 = -1$$

Alle Nullstellen einfach → Graph schneidet die $x$-Achse jeweils.

3. Leitterm $x^3$ ($a_3 = 1 > 0$, Grad ungerade):

$$x \to -\infty:\; f(x) \to -\infty \qquad x \to +\infty:\; f(x) \to +\infty$$

4. Skizze: Graph kommt von unten links, schneidet bei $-1$, überquert $0$, schneidet bei $2$ und zieht nach oben rechts.

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Lösung 5

1. Faktorform: $f(x) = (x+2)^2(x-1)$

Ausmultiplizieren: $(x^2 + 4x + 4)(x-1) = x^3 + 3x^2 - 4$

2. Bei $x_1 = -2$ (doppelte NS, $k=2$ gerade): Graph berührt die $x$-Achse.

Bei $x_2 = 1$ (einfache NS, $k=1$ ungerade): Graph schneidet die $x$-Achse.

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Lösung 6

Ausklammern: $f(x) = x^{100}(x^{100} - 1) = 0$

• $x^{100} = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = 0$ (100-fache Nullstelle)
• $x^{100} = 1 \;\Rightarrow\; x_{2,3} = \pm 1$

$$\mathbb{L} = \{-1,\; 0,\; 1\}$$

An $x=0$: Vielfachheit $100$ (gerade) → Graph berührt die $x$-Achse. An $x = \pm 1$: Vielfachheit $1$ → Graph schneidet.

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Lösung 7

1. $f(-x) = (-x)^{2n+1} - (-x) = -x^{2n+1} + x = -(x^{2n+1} - x) = -f(x)$

→ punktsymmetrisch zum Ursprung für alle $n \in \mathbb{N}$.

2. Ausklammern: $f(x) = x(x^{2n} - 1) = 0$

• $x = 0$
• $x^{2n} = 1$: Da $2n$ gerade, gilt $x^{2n} \geq 0$, und es folgt $x = \pm 1$.

$$\mathbb{L} = \{-1,\; 0,\; 1\} \quad \text{für alle } n \in \mathbb{N}$$

3. Genau 3 reelle Nullstellen — unabhängig von $n$.