Kapitel III: Sinus- und Kosinusfunktion

III.1 Bogenmaß

Definition

Das Bogenmaß (Radiant, rad) misst Winkel durch die Länge des zugehörigen Kreisbogens auf dem Einheitskreis (Radius $r = 1$).

$$\alpha_\text{rad} = \frac{\text{Bogenlänge}}{r} = \text{Bogenlänge auf dem Einheitskreis}$$

Umrechnung

$$\alpha_\text{rad} = \alpha_\text{Grad} \cdot \frac{\pi}{180°} \qquad \alpha_\text{Grad} = \alpha_\text{rad} \cdot \frac{180°}{\pi}$$

Wichtige Werte:

Grad	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$180°$	$270°$	$360°$
Radiant	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$

Einheitskreis mit wichtigen Winkeln im Bogenmaß

→ Aufgaben: Bogenmaß und Einheitskreis

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III.2 Sinus- und Kosinusfunktion

Definition am Einheitskreis

Für jeden Winkel $\alpha$ (im Bogenmaß) ist der Punkt auf dem Einheitskreis: $$P(\alpha) = (\cos\alpha,\; \sin\alpha)$$

• $\cos\alpha$: $x$-Koordinate des Punktes
• $\sin\alpha$: $y$-Koordinate des Punktes

Wichtige Werte

$\alpha$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$\sin\alpha$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos\alpha$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$-1$	$0$	$1$

Eigenschaften der Basisfunktionen

Sinusfunktion $f(x) = \sin x$:

• Periode: $2\pi$
• Wertemenge: $[-1, 1]$
• Nullstellen: $x = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
• Punktsymmetrie zum Ursprung (ungerade Funktion): $\sin(-x) = -\sin x$

Kosinusfunktion $f(x) = \cos x$:

• Periode: $2\pi$
• Wertemenge: $[-1, 1]$
• Nullstellen: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
• Achsensymmetrie zur $y$-Achse (gerade Funktion): $\cos(-x) = \cos x$

Zusammenhang: $\cos x = \sin\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

sin(x) und cos(x) auf dem Intervall [0, 4π]

→ Aufgaben: Sinus und Kosinus als periodische Funktionen

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III.3 Allgemeine Sinusfunktion

Parameter

$$f(x) = a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d$$

Parameter	Bedeutung	Auswirkung
$a$	Amplitude	Streckung in $y$-Richtung; $|a|$ = Amplitude
$b$	Frequenzparameter	Periode $T = \dfrac{2\pi}{b}$
$c$	Phasenverschiebung	Verschiebung in $x$-Richtung um $c$
$d$	Verschiebung	Verschiebung in $y$-Richtung um $d$

Bestimmung der Parameter aus dem Graphen

1. Amplitude: $a = \dfrac{y_\text{max} - y_\text{min}}{2}$
2. Mittelwert: $d = \dfrac{y_\text{max} + y_\text{min}}{2}$
3. Periode: $T$ ablesen → $b = \dfrac{2\pi}{T}$
4. Phasenverschiebung: Nullstelle oder Maximum ablesen → $c$ bestimmen

Vergleich: sin(x) und 2·sin(2(x − π/4)) + 1 — Amplitude, Periode und Verschiebung sichtbar

→ Aufgaben: Transformationen der Sinusfunktion

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III.4 Modellieren periodischer Vorgänge

Typische Anwendungen

Periodische Naturphänomene und technische Vorgänge lassen sich durch die Sinusfunktion modellieren:

Anwendung	Periode $T$
Gezeitenhub	ca. 12,4 h
Tageslänge im Jahresverlauf	365 Tage
Wechselspannung	$\frac{1}{50}$ s (50 Hz)
Schallwellen	abhängig von Frequenz

Vorgehen beim Modellieren

1. Messwerte sichten: Maximum, Minimum, Periode bestimmen
2. Parameter $a$, $b$, $c$, $d$ berechnen
3. Funktionsterm aufstellen: $f(x) = a \cdot \sin(b(x - c)) + d$
4. Modell überprüfen (passt der Graph zu den Daten?)
5. Prognosen treffen (Vorhersagen mit dem Modell)

Modellbeispiel: Wasserstand W(t) = 2·sin(π/6 · t) + 3 mit Periode 12 h

→ Aufgaben: Modellierung periodischer Vorgänge

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Rückblick: Wichtige Formeln

$$\text{Periode: } T = \frac{2\pi}{b} \qquad \text{Amplitude: } a = \frac{y_\text{max} - y_\text{min}}{2}$$

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \qquad \cos x = \sin\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$$