Kapitel II: Zusammengesetzte Zufallsexperimente und stochastische Simulation

II.1 Mehrstufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme

Grundbegriffe

Ergebnis: Möglicher Ausgang eines Zufallsexperiments
Ereignis: Menge von Ergebnissen
Wahrscheinlichkeit $P(A) \in [0,1]$ : Zahl, die die Chance eines Ereignisses beschreibt

Baumdiagramm

Ein Baumdiagramm stellt ein mehrstufiges Zufallsexperiment grafisch dar.

Jeder Ast entspricht einem möglichen Ausgang einer Stufe.
An jedem Ast steht die Übergangswahrscheinlichkeit.
Jeder Pfad von der Wurzel bis zu einem Blatt beschreibt ein vollständiges Ergebnis.

Baumdiagramm: zweimaliges Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit 3 roten (R) und 2 blauen (B) Kugeln

Pfadregeln

Produktregel (Pfadregel 1): Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades: $P(\text{Pfad}) = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n$

Summenregel (Pfadregel 2): Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller günstigen Pfade: $P(A) = \sum_{\text{günstige Pfade}} P(\text{Pfad})$

Dabei meint günstig: Beispielsweise alle Pfade, die in der relevanten Ereignismenge vorkommen. Ist also ein Ereignis A mit den enthaltenen Elementen bekannt, so gibt die 2. Pfadregel die WS für das Ereignis an, nachdem für jedes Element in A die 1. Pfadregel angewendet worden ist.

Oft ist es hierbei sinnvoll, vom Gegenereignis auszugehen, wenn dieses weniger Elemente enthält.

Mit und ohne Zurücklegen

	Mit Zurücklegen	Ohne Zurücklegen
Wahrscheinlichkeiten	gleich auf jeder Stufe	ändern sich nach jedem Zug
Stufen unabhängig?	ja	nein (bedingte WS)
Typisches Modell	Würfeln, Münze	Ziehen aus Urne

Beispiel (Urne: 3R, 2B, 2 Züge):

Mit Zurücklegen: $P(RR) = \tfrac{3}{5} \cdot \tfrac{3}{5} = \tfrac{9}{25}$
Ohne Zurücklegen: $P(RR) = \tfrac{3}{5} \cdot \tfrac{2}{4} = \tfrac{6}{20} = \tfrac{3}{10}$

Beispiel: Ziehen ohne Zurücklegen

Urne mit 3 roten (R) und 2 blauen (B) Kugeln. Zweimal ziehen ohne Zurücklegen.

$P(\text{beide rot}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ : $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \qquad (P(B) > 0)$

Im Baumdiagramm: $P(A \mid B)$ steht am Ast nach $B$ in Richtung $A$ .

Formel der totalen Wahrscheinlichkeit: $P(A) = P(A \mid B) \cdot P(B) + P(A \mid \overline{B}) \cdot P(\overline{B})$

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse $A$ und $B$ heißen stochastisch unabhängig, wenn: $P(A \mid B) = P(A) \quad \iff \quad P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Im Baumdiagramm: Bei Unabhängigkeit sind die Äste der zweiten Stufe immer gleich (egal was in Stufe 1 eintrat).

→ Aufgaben: Mehrstufige Zufallsexperimente

II.2 Stochastische Simulationen

Idee der Simulation

Viele Wahrscheinlichkeiten lassen sich analytisch schwer berechnen. Durch Simulation nähert man sich dem theoretischen Wert durch viele Wiederholungen an.

Gesetz der großen Zahlen: Bei sehr vielen Wiederholungen nähert sich die relative Häufigkeit der theoretischen Wahrscheinlichkeit: $h_n(A) = \frac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{n} \xrightarrow{n \to \infty} P(A)$

Monte-Carlo-Methode

Klassisches Beispiel: Schätzung von $\pi$ .

Idee: Zufällige Punkte $(x, y)$ mit $x, y \in [0,1]$ werden generiert. Der Anteil der Punkte, die innerhalb des Viertelkreises mit Radius 1 liegen ( $x^2 + y^2 \leq 1$ ), nähert sich $\frac{\pi}{4}$ .

$\pi \approx 4 \cdot \frac{\text{Anzahl Punkte im Kreis}}{n}$

Code

pacman::p_load("ggplot2")

set.seed(7)
n  <- 3000
x  <- runif(n)
y  <- runif(n)
inside <- x^2 + y^2 <= 1
pi_est <- round(4 * mean(inside), 4)

df  <- data.frame(x, y, region = factor(inside, labels = c("außerhalb", "innerhalb")))
arc <- data.frame(
  x = cos(seq(0, pi / 2, length.out = 200)),
  y = sin(seq(0, pi / 2, length.out = 200))
)

ggplot(df, aes(x, y, color = region)) +
  geom_point(size = 0.4, alpha = 0.5) +
  geom_path(data = arc, aes(x, y), color = "black", linewidth = 0.8, inherit.aes = FALSE) +
  scale_color_manual(values = c("außerhalb" = "#e07070", "innerhalb" = "#5b9bd5")) +
  coord_fixed() +
  labs(
    title = paste0("n = ", n, "  →  π ≈ ", pi_est),
    x = NULL, y = NULL, color = NULL
  ) +
  theme_minimal(base_size = 12) +
  theme(legend.position = "bottom")

Monte-Carlo-Schätzung von π mit 3000 zufälligen Punkten

Simulation mit Zufallszahlen

In der Schule simuliert man oft mit:

Tabellen von Zufallszahlen — jede Ziffer 0–9 kommt gleichwahrscheinlich vor
Taschenrechner / CAS — rand() erzeugt gleichverteilte Zahlen in $[0, 1)$

Vorgehen:

Jedem Ergebnis eine Zahl (oder Zahlenbereich) zuordnen
Zufallszahlen erzeugen und auswerten
Relative Häufigkeit berechnen

Beispiel: Münzwurf, $P(\text{Kopf}) = 0{,}5$ . Zuordnung: gerade Ziffer = Kopf, ungerade = Zahl.

Grenzen der Simulation

Simulation liefert immer nur eine Schätzung, keine exakte Wahrscheinlichkeit
Für genauere Ergebnisse muss $n$ größer gewählt werden
Theoretische Berechnung (Baumdiagramm, Kombinatorik) ist exakt — Simulation ist ein Hilfsmittel, wenn das nicht möglich ist

Simulation mit dem Tabellenkalkulationsprogramm

Vorgehen:

Zufallszahlen mit ZUFALLSZAHL() (gibt Wert in $[0,1)$ ) oder ZUFALLSBEREICH(a;b) erzeugen
Bedingungen prüfen (z. B. $x^2 + y^2 \leq 1$ )
Relative Häufigkeit auswerten

Anwendungen:

Simulation von Würfeln, Münzwürfen, Urnenexperimenten
Schätzung schwieriger Wahrscheinlichkeiten
Risikoanalysen (z. B. in Versicherungen, Finanzwesen)

→ Aufgaben: Simulation und Monte-Carlo

Rückblick: Wichtige Formeln

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

$P(A \cap B) = P(A \mid B) \cdot P(B) \quad \text{(Produktregel)}$

$A, B \text{ unabhängig} \iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$