Kapitel V: Raumgeometrie

V.1 Pyramiden und Kegel – Einführung

Pyramide

Eine Pyramide besteht aus einer Grundfläche (beliebiges Vieleck) und einer Spitze $S$ . Alle Seitenflächen sind Dreiecke.

Wichtige Begriffe:

Grundfläche $G$ : Fläche des Grundpolygons
Höhe $h$ : senkrechter Abstand von Spitze zur Grundfläche
Seitenkante: Kante von der Spitze zu einem Eckpunkt der Grundfläche
Apothema (bei regelmäßiger Pyramide): senkrechter Abstand von der Spitze zur Mitte einer Grundkante

Sonderfälle: Quadratische Pyramide (quadratische Grundfläche), Tetraeder (gleichseitige Dreieckspyramide).

Kegel

Ein Kegel hat eine kreisförmige Grundfläche und eine Spitze $S$ .

Wichtige Begriffe:

Grundkreisradius $r$
Höhe $h$ : senkrechter Abstand von Spitze zur Grundfläche
Mantellinie $s = \sqrt{r^2 + h^2}$ (Abstand von Spitze zum Rand)

V.2 Oberfläche und Volumen von Pyramiden

Volumen

$V_\text{Pyramide} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$

wobei $G$ die Grundfläche und $h$ die Höhe ist.

Merkhilfe: Das Volumen einer Pyramide ist ein Drittel des Volumens des zugehörigen Prismas.

Oberfläche

$O_\text{Pyramide} = G + M$

$M$ = Summe aller Seitenflächen (Mantelfläche).

Bei einer regelmäßigen $n$ -seitigen Pyramide mit Grundkantenlänge $a$ und Apothema $h_a$ : $M = n \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot u \cdot h_a$

( $u = n \cdot a$ = Umfang der Grundfläche)

Beispiel: Quadratische Pyramide

Grundkantenlänge $a = 4\,\text{cm}$ , Höhe $h = 3\,\text{cm}$ .

Apothema: $h_a = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\,\text{cm}$
Grundfläche: $G = a^2 = 16\,\text{cm}^2$
Mantelfläche: $M = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{13} = 8\sqrt{13}\,\text{cm}^2$
Oberfläche: $O = 16 + 8\sqrt{13} \approx 44{,}8\,\text{cm}^2$
Volumen: $V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 3 = 16\,\text{cm}^3$

V.3 Oberfläche und Volumen von Kegeln

Volumen

$V_\text{Kegel} = \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot h$

Mantelfläche

Die Mantelfläche des Kegels ist ein Kreissektor mit Radius $s$ (Mantellinie) und Bogenlänge $2\pi r$ : $M_\text{Kegel} = \pi \cdot r \cdot s \qquad \text{mit } s = \sqrt{r^2 + h^2}$

Oberfläche

$O_\text{Kegel} = \pi r^2 + \pi r s = \pi r (r + s)$

Beispiel

Grundkreisradius $r = 3\,\text{cm}$ , Höhe $h = 4\,\text{cm}$ :

Mantellinie: $s = \sqrt{9 + 16} = 5\,\text{cm}$
Mantelfläche: $M = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi \approx 47{,}1\,\text{cm}^2$
Oberfläche: $O = \pi \cdot 3 \cdot (3 + 5) = 24\pi \approx 75{,}4\,\text{cm}^2$
Volumen: $V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi \approx 37{,}7\,\text{cm}^3$

V.4 Volumen der Kugel

Herleitung (Cavalieri-Prinzip)

Das Volumen der Kugel ergibt sich aus dem Vergleich mit Zylinder minus Doppelkegel:

$V_\text{Kugel} = \frac{4}{3} \pi r^3$

Halbkugel

$V_\text{Halbkugel} = \frac{2}{3} \pi r^3$

V.5 Oberfläche der Kugel

$O_\text{Kugel} = 4 \pi r^2$

Merkhilfe: Die Kugeloberfläche entspricht genau vier Großkreisflächen ( $4 \cdot \pi r^2$ ).

Überblick: Alle Formeln

Körper	Volumen	Oberfläche
Quader ( $a, b, c$ )	$abc$	$2(ab + bc + ca)$
Zylinder ( $r, h$ )	$\pi r^2 h$	$2\pi r^2 + 2\pi r h$
Pyramide ( $G, h$ )	$\dfrac{1}{3} G h$	$G + M$
Kegel ( $r, h, s$ )	$\dfrac{1}{3} \pi r^2 h$	$\pi r(r + s)$
Kugel ( $r$ )	$\dfrac{4}{3} \pi r^3$	$4\pi r^2$

( $s = \sqrt{r^2 + h^2}$ : Mantellinie des Kegels)

Volumenvergleich: Zylinder, Kegel und Kugel bei gleichem r = 3, h = 5

→ Aufgaben: Pyramide, Kegel, Zylinder und Kugel

Rückblick: Trigonometrie in der Raumgeometrie

Zur Berechnung von Längen und Winkeln in Körpern werden oft rechtwinklige Dreiecke ausgeschnitten:

Satz des Pythagoras: $c^2 = a^2 + b^2$
Sinus/Kosinus: $\sin\alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$ , $\cos\alpha = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Tangens: $\tan\alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

→ Aufgaben: Anwendungen mit Trigonometrie