Kapitel I: Exponentielles Wachstum und Logarithmus

I.1 Lineares und exponentielles Wachstum

Lineares Wachstum

Bei linearem Wachstum wird in gleichen Zeitabschnitten immer derselbe Betrag addiert (konstante absolute Änderung): $f(x) = m \cdot x + b$

Exponentielles Wachstum

Bei exponentiellem Wachstum wird in gleichen Zeitabschnitten immer mit demselben Faktor $a$ multipliziert (konstante relative Änderung): $f(x) = b \cdot a^x, \quad a > 0,\; a \neq 1,\; b > 0$

$b = f(0)$ : Anfangswert
$a > 1$ : Wachstum
$0 < a < 1$ : Zerfall (Abnahme)

Vergleich:

	Lineares Wachstum	Exponentielles Wachstum
Änderung	konstant absolut ( $+m$ )	konstant relativ ( $\cdot a$ )
Formel	$mx + b$	$b \cdot a^x$
Graph	Gerade	Kurve

Wachstumsfaktor und Wachstumsrate

Wenn sich eine Größe pro Zeiteinheit um $p\,\%$ ändert, gilt: $a = 1 + \frac{p}{100} \quad \text{(Wachstum)}, \qquad a = 1 - \frac{p}{100} \quad \text{(Zerfall)}$

I.2 Exponentialfunktionen

Definition und Eigenschaften

Die Exponentialfunktion zur Basis $a$ ist: $f: \mathbb{R} \to (0, \infty), \quad f(x) = a^x$

Eigenschaften für $a > 1$ :

$f(0) = 1$ , immer positiv
Wertemenge $(0, \infty)$ , keine Nullstellen
$x$ -Achse ist waagerechte Asymptote für $x \to -\infty$

Für $0 < a < 1$ sind die Monotonieeigenschaften umgekehrt (streng monoton fallend).

Allgemeine Form

$f(x) = b \cdot a^x$

Hierbei nenn man $a$ den Wachstumsfaktor und $b$ den Startwert.

Für den Wachstumsfaktor gilt: $a > 1 \Rightarrow \text{Wachstum}$

$a < 1 \Rightarrow \text{Abnahme}$

Grafik: Wachstum und Zerfall im Vergleich

Exponentialfunktionen f(x) = a^x für verschiedene Basen

Funktionsterm aus zwei Punkten bestimmen

Sind zwei Punkte $(x_1, y_1)$ und $(x_2, y_2)$ bekannt, lassen sich $a$ und $b$ berechnen:

$\frac{y_2}{y_1} = \frac{b \cdot a^{x_2}}{b \cdot a^{x_1}} = a^{x_2 - x_1} \quad\Rightarrow\quad a = \left(\frac{y_2}{y_1}\right)^{\!\frac{1}{x_2 - x_1}}$

Dann $b$ aus $b = \dfrac{y_1}{a^{x_1}}$ bestimmen.

→ Aufgaben: Exponentialfunktionen

I.3 Exponentialgleichungen und Logarithmen

Logarithmus – Definition

Der Logarithmus zur Basis $a$ ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: $a^x = y \iff x = \log_a y \qquad (a > 0,\; a \neq 1,\; y > 0)$

Spezielle Logarithmen:

$\lg x = \log_{10} x$ (dekadischer Logarithmus)
$\ln x = \log_e x$ (natürlicher Logarithmus)

Wiederholung: Potenzgesetze

Für $a, b > 0$ und $r, s \in \mathbb{R}$ :

$a^r \cdot a^s = a^{r+s}$

$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$

$(a^r)^s = a^{r \cdot s}$

$a^r \cdot b^r = (a \cdot b)^r$

$a^0 = 1, \qquad a^{-r} = \frac{1}{a^r}, \qquad a^{1/r} = \sqrt[r]{a}$

Logarithmusgesetze

$\log_a(u \cdot v) = \log_a u + \log_a v$

$\log_a\!\left(\frac{u}{v}\right) = \log_a u - \log_a v$

$\log_a(u^r) = r \cdot \log_a u$

$\log_a 1 = 0, \qquad \log_a a = 1$

Basiswechsel:

$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} = \frac{\lg x}{\lg a}$

Grafik: $e^x$ und $\ln(x)$ als Spiegelbilder

e^x und ln(x) sind Spiegelbilder an der Geraden y = x

Wichtige Werte

Folgende Werte müssen bekannt sein:

$\log_b(1) = 0$

$\log_b(0) = nicht möglich$

$\log_b(b^n) = n$

$\ln(e^r) = r$

Exponentialgleichungen lösen

Vorgehen: Logarithmieren beider Seiten.

Beispiel 1: $3^x = 50 \implies x \cdot \ln 3 = \ln 50 \implies x = \frac{\ln 50}{\ln 3} \approx 3{,}56$

Beispiel 2: $2 \cdot 1{,}05^x = 5 \implies 1{,}05^x = 2{,}5 \implies x = \frac{\ln 2{,}5}{\ln 1{,}05} \approx 18{,}8$

→ Aufgaben: Logarithmus

I.4 Modellieren und Anwenden

Halbwertszeit und Verdopplungszeit

Halbwertszeit $T_{1/2}$ (beim Zerfall, $0 < a < 1$ ): $b \cdot a^{T_{1/2}} = \frac{b}{2} \implies a^{T_{1/2}} = \frac{1}{2} \implies T_{1/2} = \frac{\ln\frac{1}{2}}{\ln a} = \frac{-\ln 2}{\ln a}$

Verdopplungszeit $T_2$ (beim Wachstum, $a > 1$ ): $T_2 = \frac{\ln 2}{\ln a}$

Typische Anwendungen

Situation	Modell
Radioaktiver Zerfall	$N(t) = N_0 \cdot a^t$ , $0 < a < 1$
Bevölkerungswachstum	$P(t) = P_0 \cdot a^t$ , $a > 1$
Zinseszins	$K_n = K_0 \cdot q^n$ , $q = 1 + p/100$
Abkühlung (Newton)	$T(t) = T_U + (T_0 - T_U) \cdot a^t$

Grafik: Zinseszins im Vergleich

Kapitalentwicklung von 1000 € bei verschiedenen Zinssätzen

Welche Formel wofür?

Situation	Formel	Gesucht
Kapital nach $n$ Jahren	$K_n = K_0 \cdot q^n$	$K_n$
Zeitdauer bis Zielwert	$n = \dfrac{\ln(Z/K_0)}{\ln q}$	$n$
Restmenge nach Zeit $t$	$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$	$N(t)$
Zeit bis Anteil $r$	$t = T_{1/2} \cdot \dfrac{\ln(1/r)}{\ln 2}$	$t$
Verdopplungszeit	$T_2 = \dfrac{\ln 2}{\ln a}$	$T_2$

Vorgehen beim Modellieren

Geeignetes Modell $f(x) = b \cdot a^x$ aufstellen
Zwei bekannte Werte einsetzen → Gleichungssystem
$b$ und $a$ bestimmen
Fragen beantworten (Zeitpunkt, Wert, Halbwertszeit, …)

→ Aufgaben: Zinsrechnung und Halbwertszeit

Sonstiges: Natürliche Exponentialfunktion

$f(x) = e^x, \quad e \approx 2{,}718\ldots \text{ (Euler'sche Zahl)}$

Alternativer Schreibweise mit Basis $e$ : $b \cdot a^x = b \cdot e^{x \cdot \ln a}$

Rückblick: Wichtige Formeln

$f(x) = b \cdot a^x \qquad \log_a(a^x) = x \qquad a^{\log_a x} = x$

$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{-\ln a} \quad (0 < a < 1) \qquad T_2 = \frac{\ln 2}{\ln a} \quad (a > 1)$