Modellierung periodischer Vorgänge

Klasse 10

Aufgaben

Aufgabe 1

L

Der Wasserstand im Hafen schwankt periodisch: Maximum $5\,\text{m}$, Minimum $1\,\text{m}$, Periode $12\,\text{h}$. Zum Zeitpunkt $t = 0$ befindet sich der Wasserstand auf der Mittellage und steigt.

Stelle das Modell $W(t)$ auf und berechne den Wasserstand nach $t = 9\,\text{h}$.

Aufgabe 2

L

Die Tagestemperatur lässt sich näherungsweise durch eine Sinusfunktion beschreiben: Minimum $6\,\text{°C}$ um $3\,\text{Uhr}$, Maximum $22\,\text{°C}$, Periode $24\,\text{h}$.

1. Stelle das Modell $T(t)$ auf ($t$ in Stunden nach Mitternacht).

2. Berechne die Temperatur um $15\,\text{Uhr}$.

Aufgabe 3

L

Ein Punkt auf einem Fahrradrad befindet sich bei $t = 0$ auf dem höchsten Punkt. Das Rad hat einen Radius von $40\,\text{cm}$, die Achse liegt $40\,\text{cm}$ über dem Boden, und das Rad dreht mit einer Umdrehung pro Sekunde.

1. Stelle ein Modell $h(t)$ für die Höhe des Punktes über dem Boden auf.

2. In welcher Höhe befindet sich der Punkt nach $t = 0{,}375\,\text{s}$?

Aufgabe 4

L

Gezeiten: Das erste Maximum beträgt $6{,}2\,\text{m}$ bei $t = 3\,\text{h}$, das erste Minimum beträgt $0{,}4\,\text{m}$. Die Periode beträgt $12{,}5\,\text{h}$.

1. Stelle das Modell $H(t)$ auf.

2. Berechne $H(9{,}5)$ auf eine Dezimalstelle genau.

Aufgabe 5

L

Die Abbildung zeigt den gemessenen Wasserstand an einer Messstelle über $36$ Stunden.

Wasserstand über 36 Stunden

1. Lies Maximum, Minimum und Mittellage ab.
2. Bestimme daraus Amplitude und Periode.
3. Stelle einen Funktionsterm der Form $W(t) = a \cdot \sin(b\,t) + d$ auf.
4. Berechne mit deinem Modell den Wasserstand nach $15$ Stunden.

Aufgabe 6

L

Auf einem fremden Planeten schwankt die Temperatur sinusförmig zwischen $-180\,\text{°C}$ und $+220\,\text{°C}$. Ein Planetentag dauert $1000\,\text{h}$. Zum Zeitpunkt $t = 0$ herrscht das Minimum.

1. Stelle das Modell $T(t)$ auf.

2. Berechne die Temperatur nach $250\,\text{h}$.

3. Ab welchem Zeitpunkt $t > 0$ übersteigt die Temperatur erstmals $100\,\text{°C}$?

Aufgabe 7

L

Die scheinbare Magnitude (Helligkeit) eines Quasars schwankt sinusförmig zwischen $4{,}0$ und $16{,}0$. Die Periode beträgt $3{,}7$ Jahre. Zum Zeitpunkt $t = 0$ beträgt die Magnitude $10{,}0$ und nimmt zu (größere Magnitude = dunkler).

1. Stelle das Modell $M(t)$ auf ($t$ in Jahren).

2. Nach wie vielen Jahren wird der Quasar erstmals am dunkelsten (Maximum der Magnitude)?

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Lösungen

Lösung 1

$a = \frac{5-1}{2} = 2$, $\quad d = \frac{5+1}{2} = 3$, $\quad T = 12 \Rightarrow b = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$

Bei $t=0$ Mittellage und steigend → kein Phasenshift ($c = 0$):

$$W(t) = 2 \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\,t\right) + 3$$

Nach $9\,\text{h}$:

$$W(9) = 2 \cdot \sin\!\left(\frac{9\pi}{6}\right) + 3 = 2 \cdot \sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 3 = 2 \cdot (-1) + 3 = 1\,\text{m}$$

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Lösung 2

1. $a = \frac{22-6}{2} = 8$, $d = \frac{22+6}{2} = 14$, $T = 24 \Rightarrow b = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12}$

Minimum bei $t = 3$, also $\sin(b(t-c)) = -1$ bei $t=3$:

$$\frac{\pi}{12}(3 - c) = -\frac{\pi}{2} \quad\Rightarrow\quad 3 - c = -6 \quad\Rightarrow\quad c = 9$$

$$T(t) = 8 \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{12}(t - 9)\right) + 14$$

2. $T(15) = 8 \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{12} \cdot 6\right) + 14 = 8 \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) + 14 = 8 + 14 = 22\,\text{°C}$

(Das Maximum — plausibel für $15\,\text{Uhr}$.)

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Lösung 3

1. Achse bei $40\,\text{cm}$, Radius $40\,\text{cm}$: Max $= 80\,\text{cm}$, Min $= 0\,\text{cm}$.

$a = 40$, $d = 40$, $T = 1\,\text{s} \Rightarrow b = 2\pi$

Bei $t=0$ auf dem höchsten Punkt → Kosinusfunktion (oder Sinus mit Phasenshift $-\frac{\pi}{2}$):

$$h(t) = 40 \cdot \cos(2\pi t) + 40$$

2. $h(0{,}375) = 40 \cdot \cos(0{,}75\pi) + 40 = 40 \cdot \cos(135°) + 40 = 40 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 40$

$$= 40 - 20\sqrt{2} \approx 40 - 28{,}3 \approx 11{,}7\,\text{cm}$$

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Lösung 4

1. $a = \frac{6{,}2 - 0{,}4}{2} = 2{,}9$, $d = \frac{6{,}2 + 0{,}4}{2} = 3{,}3$, $T = 12{,}5 \Rightarrow b = \frac{2\pi}{12{,}5} = \frac{4\pi}{25}$

Maximum bei $t = 3$:

$$\frac{4\pi}{25}(3 - c) = \frac{\pi}{2} \quad\Rightarrow\quad 3 - c = \frac{25}{8} \quad\Rightarrow\quad c = 3 - 3{,}125 = -0{,}125$$

$$H(t) = 2{,}9 \cdot \sin\!\left(\frac{4\pi}{25}(t + 0{,}125)\right) + 3{,}3$$

2. $H(9{,}5) = 2{,}9 \cdot \sin\!\left(\frac{4\pi}{25} \cdot 9{,}625\right) + 3{,}3$

$\frac{4\pi}{25} \cdot 9{,}625 = \frac{38{,}5\pi}{25} \approx 4{,}838\,\text{rad}$

$\sin(4{,}838) \approx -1{,}00$ (nahe $\frac{3\pi}{2}$)

$$H(9{,}5) \approx 2{,}9 \cdot (-1) + 3{,}3 = 0{,}4\,\text{m}$$ (Minimum, plausibel: halbe Periode nach dem Maximum)

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Lösung 5

1. Maximum $5\,\text{m}$, Minimum $1\,\text{m}$, Mittellage (gestrichelte Linie) $3\,\text{m}$.

2. $$a = \frac{5 - 1}{2} = 2, \qquad d = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Der Graph durchläuft zwischen $t = 0$ und $t = 12$ genau eine volle Schwingung, also $T = 12\,\text{h}$:

$$b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$$

3. $$W(t) = 2 \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\,t\right) + 3$$

Der Graph startet bei $t=0$ in der Mittellage und steigt — die reine Sinusform ohne Verschiebung passt also.

4. $$W(15) = 2 \cdot \sin\!\left(\frac{15\pi}{6}\right) + 3 = 2 \cdot \sin\!\left(\frac{5\pi}{2}\right) + 3 = 2 \cdot 1 + 3 = 5\,\text{m}$$

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Lösung 6

1. $a = \frac{220 - (-180)}{2} = 200$, $d = \frac{220 + (-180)}{2} = 20$

$T = 1000 \Rightarrow b = \frac{2\pi}{1000} = \frac{\pi}{500}$

Minimum bei $t=0$: $\sin(b(0-c)) = -1 \Rightarrow c = \frac{T}{4} = 250$ — oder einfacher: Kosinusfunktion negieren:

$$T(t) = -200 \cdot \cos\!\left(\frac{\pi}{500}\,t\right) + 20$$

2. $T(250) = -200 \cdot \cos\!\left(\frac{250\pi}{500}\right) + 20 = -200 \cdot \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) + 20 = 0 + 20 = 20\,\text{°C}$

(Mittellage nach einem Viertel der Periode — plausibel.)

3. $T(t) > 100$:

$$-200\cos\!\left(\frac{\pi}{500}t\right) + 20 = 100 \quad\Rightarrow\quad \cos\!\left(\frac{\pi}{500}t\right) = -0{,}4$$

$$\frac{\pi}{500}t = \arccos(-0{,}4) \approx 1{,}982 \quad\Rightarrow\quad t \approx \frac{500 \cdot 1{,}982}{\pi} \approx 315\,\text{h}$$

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Lösung 7

1. $a = \frac{16 - 4}{2} = 6$, $d = \frac{16+4}{2} = 10$, $T = 3{,}7 \Rightarrow b = \frac{2\pi}{3{,}7}$

Bei $t=0$: Mittellage mit zunehmender Tendenz → Standardsinus, kein Phasenshift:

$$M(t) = 6 \cdot \sin\!\left(\frac{2\pi}{3{,}7}\,t\right) + 10$$

2. Maximum (Magnitude 16, also dunkelster Punkt) bei $\sin(\ldots) = 1$:

$$\frac{2\pi}{3{,}7}\,t = \frac{\pi}{2} \quad\Rightarrow\quad t = \frac{3{,}7}{4} = 0{,}925\,\text{Jahre}$$