Modellierung periodischer Vorgänge

Klasse 10

Published

March 15, 2026

Grundidee

Periodische Vorgänge (Gezeiten, Temperaturen, Kreisbewegungen, …) werden durch eine Funktion der Form

$W(t) = a \cdot \sin\!\left(b(t - c)\right) + d$

modelliert. Vorgehen:

Amplitude: $\displaystyle a = \frac{\text{Max} - \text{Min}}{2}$
Mittellage: $\displaystyle d = \frac{\text{Max} + \text{Min}}{2}$
Periode $T$ aus dem Kontext ablesen → $\displaystyle b = \frac{2\pi}{T}$
Phasenverschiebung $c$ aus der Anfangsbedingung bestimmen (wann tritt Mittellage / Maximum / Minimum auf?)

Beispiel: Wasserstand W(t) = 2·sin(π/6 · t) + 3 (Periode 12 h)

Aufgaben

Aufgabe 1

Der Wasserstand im Hafen schwankt periodisch: Maximum $5\,\text{m}$ , Minimum $1\,\text{m}$ , Periode $12\,\text{h}$ . Zum Zeitpunkt $t = 0$ befindet sich der Wasserstand auf der Mittellage und steigt.

Stelle das Modell $W(t)$ auf und berechne den Wasserstand nach $t = 9\,\text{h}$ .

Aufgabe 2

Die Tagestemperatur lässt sich näherungsweise durch eine Sinusfunktion beschreiben: Minimum $6\,\text{°C}$ um $3\,\text{Uhr}$ , Maximum $22\,\text{°C}$ , Periode $24\,\text{h}$ .

Stelle das Modell $T(t)$ auf ( $t$ in Stunden nach Mitternacht).
Berechne die Temperatur um $15\,\text{Uhr}$ .

Aufgabe 3

Ein Punkt auf einem Fahrradrad befindet sich bei $t = 0$ auf dem höchsten Punkt. Das Rad hat einen Radius von $40\,\text{cm}$ , die Achse liegt $40\,\text{cm}$ über dem Boden, und das Rad dreht mit einer Umdrehung pro Sekunde.

Stelle ein Modell $h(t)$ für die Höhe des Punktes über dem Boden auf.
In welcher Höhe befindet sich der Punkt nach $t = 0{,}375\,\text{s}$ ?

Aufgabe 4

Gezeiten: Das erste Maximum beträgt $6{,}2\,\text{m}$ bei $t = 3\,\text{h}$ , das erste Minimum beträgt $0{,}4\,\text{m}$ . Die Periode beträgt $12{,}5\,\text{h}$ .

Stelle das Modell $H(t)$ auf.
Berechne $H(9{,}5)$ auf eine Dezimalstelle genau.

Aufgabe 5

Auf einem fremden Planeten schwankt die Temperatur sinusförmig zwischen $-180\,\text{°C}$ und $+220\,\text{°C}$ . Ein Planetentag dauert $1000\,\text{h}$ . Zum Zeitpunkt $t = 0$ herrscht das Minimum.

Stelle das Modell $T(t)$ auf.
Berechne die Temperatur nach $250\,\text{h}$ .
Ab welchem Zeitpunkt $t > 0$ übersteigt die Temperatur erstmals $100\,\text{°C}$ ?

Aufgabe 6

Die scheinbare Magnitude (Helligkeit) eines Quasars schwankt sinusförmig zwischen $4{,}0$ und $16{,}0$ . Die Periode beträgt $3{,}7$ Jahre. Zum Zeitpunkt $t = 0$ beträgt die Magnitude $10{,}0$ und nimmt zu (größere Magnitude = dunkler).

Stelle das Modell $M(t)$ auf ( $t$ in Jahren).
Nach wie vielen Jahren wird der Quasar erstmals am dunkelsten (Maximum der Magnitude)?

Lösungen

Lösung 1

$a = \frac{5-1}{2} = 2$ , $\quad d = \frac{5+1}{2} = 3$ , $\quad T = 12 \Rightarrow b = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$

Bei $t=0$ Mittellage und steigend → kein Phasenshift ( $c = 0$ ):

$W(t) = 2 \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\,t\right) + 3$

Nach $9\,\text{h}$ :

$W(9) = 2 \cdot \sin\!\left(\frac{9\pi}{6}\right) + 3 = 2 \cdot \sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 3 = 2 \cdot (-1) + 3 = 1\,\text{m}$

Lösung 2

$a = \frac{22-6}{2} = 8$ , $d = \frac{22+6}{2} = 14$ , $T = 24 \Rightarrow b = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12}$

Minimum bei $t = 3$ , also $\sin(b(t-c)) = -1$ bei $t=3$ :

$\frac{\pi}{12}(3 - c) = -\frac{\pi}{2} \quad\Rightarrow\quad 3 - c = -6 \quad\Rightarrow\quad c = 9$

$T(t) = 8 \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{12}(t - 9)\right) + 14$

$T(15) = 8 \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{12} \cdot 6\right) + 14 = 8 \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) + 14 = 8 + 14 = 22\,\text{°C}$

(Das Maximum — plausibel für $15\,\text{Uhr}$ .)

Lösung 3

Achse bei $40\,\text{cm}$ , Radius $40\,\text{cm}$ : Max $= 80\,\text{cm}$ , Min $= 0\,\text{cm}$ .

$a = 40$ , $d = 40$ , $T = 1\,\text{s} \Rightarrow b = 2\pi$

Bei $t=0$ auf dem höchsten Punkt → Kosinusfunktion (oder Sinus mit Phasenshift $-\frac{\pi}{2}$ ):

$h(t) = 40 \cdot \cos(2\pi t) + 40$

$h(0{,}375) = 40 \cdot \cos(0{,}75\pi) + 40 = 40 \cdot \cos(135°) + 40 = 40 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 40$

$= 40 - 20\sqrt{2} \approx 40 - 28{,}3 \approx 11{,}7\,\text{cm}$

Lösung 4

$a = \frac{6{,}2 - 0{,}4}{2} = 2{,}9$ , $d = \frac{6{,}2 + 0{,}4}{2} = 3{,}3$ , $T = 12{,}5 \Rightarrow b = \frac{2\pi}{12{,}5} = \frac{4\pi}{25}$

Maximum bei $t = 3$ :

$\frac{4\pi}{25}(3 - c) = \frac{\pi}{2} \quad\Rightarrow\quad 3 - c = \frac{25}{8} \quad\Rightarrow\quad c = 3 - 3{,}125 = -0{,}125$

$H(t) = 2{,}9 \cdot \sin\!\left(\frac{4\pi}{25}(t + 0{,}125)\right) + 3{,}3$

$H(9{,}5) = 2{,}9 \cdot \sin\!\left(\frac{4\pi}{25} \cdot 9{,}625\right) + 3{,}3$

$\frac{4\pi}{25} \cdot 9{,}625 = \frac{38{,}5\pi}{25} \approx 4{,}838\,\text{rad}$

$\sin(4{,}838) \approx -1{,}00$ (nahe $\frac{3\pi}{2}$ )

$H(9{,}5) \approx 2{,}9 \cdot (-1) + 3{,}3 = 0{,}4\,\text{m}$ (Minimum, plausibel: halbe Periode nach dem Maximum)

Lösung 5

$a = \frac{220 - (-180)}{2} = 200$ , $d = \frac{220 + (-180)}{2} = 20$

$T = 1000 \Rightarrow b = \frac{2\pi}{1000} = \frac{\pi}{500}$

Minimum bei $t=0$ : $\sin(b(0-c)) = -1 \Rightarrow c = \frac{T}{4} = 250$ — oder einfacher: Kosinusfunktion negieren:

$T(t) = -200 \cdot \cos\!\left(\frac{\pi}{500}\,t\right) + 20$

$T(250) = -200 \cdot \cos\!\left(\frac{250\pi}{500}\right) + 20 = -200 \cdot \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) + 20 = 0 + 20 = 20\,\text{°C}$

(Mittellage nach einem Viertel der Periode — plausibel.)

$T(t) > 100$ :

$-200\cos\!\left(\frac{\pi}{500}t\right) + 20 = 100 \quad\Rightarrow\quad \cos\!\left(\frac{\pi}{500}t\right) = -0{,}4$

$\frac{\pi}{500}t = \arccos(-0{,}4) \approx 1{,}982 \quad\Rightarrow\quad t \approx \frac{500 \cdot 1{,}982}{\pi} \approx 315\,\text{h}$

Lösung 6

$a = \frac{16 - 4}{2} = 6$ , $d = \frac{16+4}{2} = 10$ , $T = 3{,}7 \Rightarrow b = \frac{2\pi}{3{,}7}$

Bei $t=0$ : Mittellage mit zunehmender Tendenz → Standardsinus, kein Phasenshift:

$M(t) = 6 \cdot \sin\!\left(\frac{2\pi}{3{,}7}\,t\right) + 10$

Maximum (Magnitude 16, also dunkelster Punkt) bei $\sin(\ldots) = 1$ :

$\frac{2\pi}{3{,}7}\,t = \frac{\pi}{2} \quad\Rightarrow\quad t = \frac{3{,}7}{4} = 0{,}925\,\text{Jahre}$