Transformationen der Sinusfunktion

Klasse 10

Grundidee

Die allgemeine Form der transformierten Sinusfunktion ist:

$$f(x) = a \cdot \sin(b(x + c)) + d$$

Parameter	Bedeutung	Berechnung
$\lvert a \rvert$	Amplitude (halbe Schwingungsbreite)	$a = \frac{\text{Max} - \text{Min}}{2}$
$b$	bestimmt die Periode	$T = \frac{2\pi}{\lvert b \rvert}$
$c$	Phasenverschiebung (nach links für $c > 0$)	aus Anfangsbedingung
$d$	Mittellage (vertikale Verschiebung)	$d = \frac{\text{Max} + \text{Min}}{2}$

Vorzeichen: $a < 0$ bedeutet Spiegelung an der Mittellage $y = d$.

sin(x) und f(x) = 2·sin(2(x − π/4)) + 1 im Vergleich

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Aufgaben

Aufgabe 1

L

Bestimme Amplitude und Periode von $f(x) = 3 \cdot \sin(2x)$.

Aufgabe 2

L

Bestimme alle Parameter ($|a|$, $T$, $c$, $d$, Wertebereich) von:

$$f(x) = -\sin(x) + 2$$

Aufgabe 3

L

Bestimme alle Parameter von:

$$f(x) = 4 \cdot \cos\!\left(3x - \pi\right)$$

Hinweis: Forme erst auf die Form $a \cdot \cos(b(x+c)) + d$ um.

Aufgabe 4

L

Bestimme alle Parameter von:

$$f(x) = \frac{1}{2} \cdot \sin\!\left(\pi x + \frac{\pi}{3}\right) - 2$$

Aufgabe 5

L

Stelle den Funktionsterm auf: Der Graph ist eine Sinusfunktion mit Amplitude $5$, Periode $4\pi$, Mittellage $y = 3$ und ohne Phasenverschiebung.

Aufgabe 6

L

Bestimme den maximalen und minimalen Wert sowie die Periode von:

$$f(x) = -3 \cdot \cos\!\left(2\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$$

Bestimme außerdem ein $x_0$, bei dem $f$ ihr Maximum annimmt.

Aufgabe 7

L

Bestimme Amplitude, Periode und Mittellage von:

$$f(x) = 0{,}001 \cdot \sin\!\left(1000\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right) - 99$$

Aufgabe 8

L

Bestimme Amplitude, Periode und Mittellage von:

$$f(x) = 200 \cdot \cos\!\left(\frac{2\pi}{365}\,x - \frac{\pi}{2}\right) + 10$$

Gib außerdem an: Bei welchem $x > 0$ nimmt $f$ erstmals ihr Maximum an? Welche reale Größe könnte $x$ bedeuten (Einheit: Tage)?

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Lösungen

Lösung 1

$a = 3$, $b = 2$:

$$|a| = 3 \quad\Rightarrow\quad \text{Amplitude} = 3 \qquad T = \frac{2\pi}{2} = \pi$$

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Lösung 2

$f(x) = (-1) \cdot \sin(x) + 2$: also $a = -1$, $b = 1$, $c = 0$, $d = 2$.

• Amplitude: $|a| = 1$
• Periode: $T = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$
• Mittellage: $y = 2$
• Vorzeichen $a < 0$: Spiegelung → Maximum wo $\sin$ Minimum hat
• Wertebereich: $[2-1, 2+1] = [1, 3]$

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Lösung 3

Umformen: $3x - \pi = 3\!\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$, also $b = 3$, $c = -\frac{\pi}{3}$, $d = 0$.

• Amplitude: $|a| = 4$
• Periode: $T = \frac{2\pi}{3}$
• Phasenverschiebung: $\frac{\pi}{3}$ nach rechts
• Mittellage: $y = 0$, Wertebereich $[-4, 4]$

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Lösung 4

Umformen: $\pi x + \frac{\pi}{3} = \pi\!\left(x + \frac{1}{3}\right)$, also $b = \pi$, $c = \frac{1}{3}$, $d = -2$.

• Amplitude: $|a| = \frac{1}{2}$
• Periode: $T = \frac{2\pi}{\pi} = 2$
• Phasenverschiebung: $\frac{1}{3}$ nach links
• Mittellage: $y = -2$, Wertebereich $\left[-2{,}5,\; -1{,}5\right]$

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Lösung 5

Gesucht: $a = 5$, $T = 4\pi$ (also $b = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$), $d = 3$, $c = 0$.

$$f(x) = 5 \cdot \sin\!\left(\frac{1}{2}\,x\right) + 3$$

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Lösung 6

$a = -3$, $b = 2$, $c = \frac{\pi}{4}$, $d = 1$.

• Periode: $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$
• Mittellage: $y = 1$
• Wertebereich: $[1-3, 1+3] = [-2, 4]$

Da $a < 0$: Maximum dort, wo $\cos\!\left(2\!\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right) = -1$, also:

$$2\!\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \pi \quad\Rightarrow\quad x = \frac{\pi}{4}$$

Maximum: $f\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4$

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Lösung 7

$a = 0{,}001$, $b = 1000$, $d = -99$.

• Amplitude: $0{,}001$
• Periode: $T = \frac{2\pi}{1000} \approx 0{,}006$
• Mittellage: $y = -99$

Das Verfahren ist identisch zu Aufgabe 1 — lediglich die Zahlen sind ungewöhnlich.

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Lösung 8

$a = 200$, $b = \frac{2\pi}{365}$, $d = 10$.

• Amplitude: $200$
• Periode: $T = \frac{2\pi}{2\pi/365} = 365$ (Tage)
• Mittellage: $y = 10$

Maximum bei $\cos(\ldots) = 1$:

$$\frac{2\pi}{365}\,x - \frac{\pi}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{365}{4} \approx 91{,}25 \text{ Tage}$$

Das ist etwa der 21. März — Frühlingsanfang. Die Funktion könnte z.B. die Tageslänge oder Sonneneinstrahlung über das Jahr modellieren.