Bogenmaß und Einheitskreis

Klasse 10

Grundidee

Das Bogenmaß (Radiant) gibt einen Winkel als Länge des Kreisbogens auf dem Einheitskreis (Radius 1) an.

Umrechnung:

$$\alpha_{\text{rad}} = \frac{\pi}{180} \cdot \alpha_{°} \qquad \alpha_{°} = \frac{180}{\pi} \cdot \alpha_{\text{rad}}$$

Wichtige Werte:

Grad	0°	30°	45°	60°	90°	120°	180°	270°	360°
Bogenmaß	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$

Einheitskreis: Der Punkt zum Winkel $\alpha$ hat die Koordinaten $P(\alpha) = (\cos\alpha,\; \sin\alpha)$.

Einheitskreis mit wichtigen Winkeln

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Aufgaben

Aufgabe 1

L

Rechne ins Bogenmaß um: $90°$

Aufgabe 2

L

Rechne ins Bogenmaß um: $\quad 30°, \quad 150°, \quad 315°$

Aufgabe 3

L

Rechne ins Gradmaß um: $\quad \dfrac{2\pi}{3}, \quad \dfrac{7\pi}{6}, \quad \dfrac{5\pi}{4}$

Aufgabe 4

L

Bestimme die exakten Werte ohne Taschenrechner:

$$\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right), \qquad \cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right), \qquad \sin\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)$$

Aufgabe 5

L

Bestimme alle $\alpha \in [0, 2\pi]$ mit $\cos(\alpha) = -\dfrac{1}{2}$.

Aufgabe 6

L

Berechne ohne Taschenrechner und vereinfache:

$$\sin^2\!\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos^2\!\left(\frac{\pi}{3}\right)$$

Nutze dann dieselbe Überlegung: Was ergibt $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)$ für beliebiges $\alpha$?

Aufgabe 7

L

Rechne $7200°$ ins Bogenmaß um. Welchen Wert hat $\sin(7200°)$?

Aufgabe 8

L

Gib die Koordinaten des Punktes $P(\alpha)$ auf dem Einheitskreis für $\alpha = 2025\pi$ an. Begründe kurz.

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Lösungen

Lösung 1

$$90° \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$$

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Lösung 2

$$30° \to \frac{\pi}{6} \qquad 150° \to \frac{5\pi}{6} \qquad 315° \to \frac{7\pi}{4}$$

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Lösung 3

$$\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180}{\pi} = 120° \qquad \frac{7\pi}{6} \cdot \frac{180}{\pi} = 210° \qquad \frac{5\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi} = 225°$$

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Lösung 4

$\frac{3\pi}{2}$ entspricht $270°$, dort ist der Punkt $(0, -1)$: $$\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) = -1$$

$\frac{2\pi}{3}$ entspricht $120°$, Punkt $\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$: $$\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$$

$\frac{5\pi}{6}$ entspricht $150°$, Punkt $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$: $$\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$

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Lösung 5

$\cos(\alpha) = -\frac{1}{2}$ liegt im 2. und 3. Quadranten (dort ist $\cos < 0$).

Grundwinkel: $\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, also:

$$\alpha_1 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}, \qquad \alpha_2 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$$

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Lösung 6

$$\sin^2\!\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos^2\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$$

Allgemein gilt der trigonometrische Pythagoras: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ für alle $\alpha \in \mathbb{R}$.

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Lösung 7

$$7200° \cdot \frac{\pi}{180} = 40\pi$$

Da $40\pi = 20 \cdot 2\pi$, liegt $7200°$ nach genau 20 vollen Umdrehungen wieder bei $0°$:

$$\sin(7200°) = \sin(40\pi) = \sin(0) = 0$$

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Lösung 8

$2025\pi = 2024\pi + \pi = 1012 \cdot 2\pi + \pi$

Nach $1012$ vollen Umdrehungen bleibt $\pi$ übrig — das entspricht $180°$, also dem Punkt $(-1, 0)$.

$$P(2025\pi) = (-1,\; 0) \qquad \Rightarrow \qquad \cos(2025\pi) = -1,\quad \sin(2025\pi) = 0$$