Anwendungen: Zinsrechnung und Halbwertszeit — Aufgaben

Klasse 10

Published

March 15, 2026

Grundidee

Zinsrechnung und Halbwertszeit sind beides Exponentialfunktionen der Form $f(t) = b \cdot a^t$ . Bei der Zinsrechnung gilt $b = K_0$ (Startkapital) und $a = q = 1 + p/100$ (Aufzinsungsfaktor). Bei der Halbwertszeit gilt $a = \tfrac{1}{2}$ und der Exponent enthält $t/T_{1/2}$ . Gesuchte Zeitpunkte erhält man immer durch Logarithmieren.

Aufgaben

Aufgabe 1

€ $1\,000$ werden zu $3\,\%$ Zinsen angelegt.

Wie viel Kapital ist nach $10$ Jahren vorhanden?
Nach wie vielen Jahren übersteigt das Kapital € $1\,500$ ?

Aufgabe 2

Das radioaktive Isotop C-14 hat eine Halbwertszeit von $5\,730$ Jahren. Eine Probe enthält heute $200\,\text{g}$ .

Wie viel Gramm sind nach $1\,000$ Jahren noch vorhanden?
Nach wie vielen Jahren sind noch $10\,\%$ der ursprünglichen Menge vorhanden?

Aufgabe 3

Eine Bakterienkultur verdoppelt sich alle $20$ Minuten. Zu Beginn sind $500$ Bakterien vorhanden.

Stelle einen Funktionsterm $N(t)$ auf ( $t$ in Minuten).
Wie viele Bakterien gibt es nach $2$ Stunden?
Nach wie vielen Minuten sind $10^6$ Bakterien vorhanden?

Aufgabe 4

Zwei Geldanlagen im Vergleich:

Anlage A: € $2\,000$ zu $4\,\%$ Zinsen
Anlage B: € $2\,500$ zu $2\,\%$ Zinsen

Stelle für beide den Kapitalterm $K_A(n)$ und $K_B(n)$ auf.
Nach wie vielen Jahren hat Anlage A mehr Kapital als Anlage B?

Aufgabe 5

Ein Medikament wird im Körper stündlich um $15\,\%$ abgebaut. Zu Beginn sind $80\,\text{mg}$ im Blut.

Stelle den Term $M(t)$ auf.
Wie viel mg sind nach $6$ Stunden noch vorhanden?
Nach wie vielen Stunden liegt die Konzentration unter $5\,\text{mg}$ ?

Aufgabe 6 (absurd)

Ein Sparkonto trägt $0{,}0001\,\%$ Zinsen pro Jahr (realistisch für bestimmte Konten). Startkapital: € $1$ .

Stelle den Kapitalterm auf.
Nach wie vielen Jahren übersteigt das Kapital € $1\,000\,000\,000\,000$ (eine Billion)?

(Das Verfahren ist identisch zu Aufgabe 1 — nur der Zinssatz ist winzig.)

Aufgabe 7 (absurd)

Ein fiktiver Stoff hat eine Halbwertszeit von $T_{1/2} = 1$ Sekunde. Die Startmenge beträgt $N_0 = 10^{50}$ Atome.

Nach wie vielen Sekunden ist die erwartete Anzahl verbleibender Atome kleiner als $1$ ?
Vergleiche diesen Wert mit dem Alter des Universums ( $\approx 4{,}3 \cdot 10^{17}$ Sekunden).

(Das Verfahren ist identisch zu Aufgabe 2b.)

Lösungen

Lösung 1

$K_{10} = 1000 \cdot 1{,}03^{10} \approx 1000 \cdot 1{,}3439 = 1\,343{,}92\text{ €}$
$1000 \cdot 1{,}03^n > 1500 \Rightarrow 1{,}03^n > 1{,}5$

$n > \dfrac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}03} \approx \dfrac{0{,}4055}{0{,}02956} \approx 13{,}7$

Nach 14 Jahren übersteigt das Kapital € $1\,500$ .

Lösung 2

$N(1000) = 200 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{1000/5730} \approx 200 \cdot 2^{-0{,}1746} \approx 200 \cdot 0{,}8864 \approx 177{,}3\text{ g}$
$200 \cdot 2^{-t/5730} = 20 \Rightarrow 2^{-t/5730} = 0{,}1$

$-\dfrac{t}{5730} = \log_2(0{,}1) = \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 2} \approx -3{,}3219$

$t \approx 3{,}3219 \cdot 5730 \approx 19\,034$ Jahre

Lösung 3

Verdopplung alle 20 Minuten: $a = 2$ , $b = 500$

$N(t) = 500 \cdot 2^{t/20}$

$N(120) = 500 \cdot 2^{6} = 500 \cdot 64 = 32\,000$
$500 \cdot 2^{t/20} = 10^6 \Rightarrow 2^{t/20} = 2000$

$\dfrac{t}{20} = \log_2(2000) = \dfrac{\ln 2000}{\ln 2} \approx 10{,}965$

$t \approx 219{,}3$ Minuten $\approx 3$ Stunden $39$ Minuten

Lösung 4

$K_A(n) = 2000 \cdot 1{,}04^n$ , $\quad K_B(n) = 2500 \cdot 1{,}02^n$
$2000 \cdot 1{,}04^n > 2500 \cdot 1{,}02^n$

$\left(\dfrac{1{,}04}{1{,}02}\right)^n > \dfrac{2500}{2000} = 1{,}25$

$n > \dfrac{\ln 1{,}25}{\ln(1{,}04/1{,}02)} = \dfrac{\ln 1{,}25}{\ln 1{,}01961\ldots} \approx \dfrac{0{,}2231}{0{,}01942} \approx 11{,}49$

Ab Jahr 12 liegt Anlage A vorne.

Lösung 5

$M(t) = 80 \cdot (0{,}85)^t$
$M(6) = 80 \cdot 0{,}85^6 \approx 80 \cdot 0{,}3771 \approx 30{,}2\text{ mg}$
$80 \cdot 0{,}85^t < 5 \Rightarrow 0{,}85^t < 0{,}0625$

$t > \dfrac{\ln 0{,}0625}{\ln 0{,}85} \approx \dfrac{-2{,}7726}{-0{,}1625} \approx 17{,}1$

Nach 18 Stunden liegt die Konzentration unter $5\,\text{mg}$ .

Lösung 6

$q = 1 + \dfrac{0{,}0001}{100} = 1{,}000001$

$K(n) = 1 \cdot (1{,}000001)^n$

$(1{,}000001)^n > 10^{12}$

$n > \dfrac{\ln 10^{12}}{\ln 1{,}000001} = \dfrac{12 \cdot \ln 10}{\ln 1{,}000001} \approx \dfrac{27{,}631}{0{,}000001} \approx 27\,631\,021$

Es dauert etwa 27,6 Millionen Jahre — mit demselben Verfahren wie Aufgabe 1.

Lösung 7

$10^{50} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^t < 1 \Rightarrow \left(\tfrac{1}{2}\right)^t < 10^{-50}$

$t > \dfrac{\ln 10^{50}}{\ln 2} = \dfrac{50 \cdot \ln 10}{\ln 2} \approx \dfrac{115{,}13}{0{,}6931} \approx 166{,}1$ Sekunden

Nach weniger als 3 Minuten ist von $10^{50}$ Atomen statistisch kein einziges mehr übrig.

Das Alter des Universums ( $4{,}3 \cdot 10^{17}$ s) ist um den Faktor $\approx 2{,}6 \cdot 10^{15}$ größer — die $166$ Sekunden sind im kosmischen Vergleich ein Wimpernschlag.