Exponentialfunktionen — Aufgaben

Klasse 10

Grundidee

Eine Exponentialfunktion $f(x) = b \cdot a^x$ beschreibt Größen, die sich pro Schritt mit demselben Faktor $a$ multiplizieren. $b$ ist der Wert bei $x = 0$. Für $a > 1$ wächst die Funktion, für $0 < a < 1$ fällt sie. Um Werte zu berechnen, setzt man $x$ ein; um den Funktionsterm aus zwei Punkten zu bestimmen, bildet man den Quotienten der Funktionswerte.

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Aufgaben

Aufgabe 1

L

Gegeben ist $f(x) = 2^x$.

1. Berechne $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$, $f(-1)$, $f(-2)$.
2. Um welchen Faktor ändert sich $f(x)$, wenn $x$ um $1$ zunimmt?
3. Für welches $x$ gilt $f(x) = 32$?

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Aufgabe 2

L

Gegeben ist $g(x) = 5 \cdot 3^x$.

1. Bestimme den Anfangswert und den Wachstumsfaktor.
2. Berechne $g(2)$ und $g(-1)$.
3. Für welches $x$ gilt $g(x) = 135$?

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Aufgabe 3

L

Eine Exponentialfunktion $f(x) = b \cdot a^x$ verläuft durch die Punkte $P(0\,|\,4)$ und $Q(3\,|\,32)$.

1. Bestimme $b$ und $a$.
2. Gib den Funktionsterm an.
3. Berechne $f(5)$.

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Aufgabe 4

L

Ein radioaktiver Stoff zerfällt gemäß $h(t) = 80 \cdot (0{,}75)^t$ (Menge in Gramm, $t$ in Stunden).

1. Wie viel Gramm sind nach 4 Stunden vorhanden?
2. Um wie viel Prozent nimmt die Menge pro Stunde ab?
3. Liegt Wachstum oder Zerfall vor? Begründe anhand von $a$.

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Aufgabe 5

L

Zwei Funktionen: $f(x) = 2 \cdot 3^x$ und $g(x) = 18 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^x$.

1. Berechne $f(2)$ und $g(2)$.
2. Für welches $x$ gilt $f(x) = g(x)$? (Hinweis: Schreibe $g$ mit der Basis $3$.)
3. Skizziere beide Graphen (grob).

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Aufgabe 6 (absurd)

L

Gegeben ist $f(x) = 10^{-50} \cdot (1{,}000001)^x$.

1. Berechne $f(0)$.
2. Das Verfahren ist identisch zu Aufgabe 1. Für welches $x$ gilt $f(x) = 1$?
3. Für welches $x$ gilt $f(x) = 10^{50}$?

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Aufgabe 7 (absurd)

L

Eine Funktion $f(x) = b \cdot a^x$ verläuft durch $P\!\left(0 \;\Big|\; \dfrac{1}{2^{100}}\right)$ und $Q(100\,|\,1)$.

1. Bestimme $b$ und $a$.
2. Gib $f(200)$ an.
3. Handelt es sich um Wachstum oder Zerfall?

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Lösungen

Lösung 1

1. $f(0)=1$, $f(1)=2$, $f(2)=4$, $f(3)=8$, $f(-1)=\tfrac{1}{2}$, $f(-2)=\tfrac{1}{4}$

2. Pro Schritt Faktor $2$ (Verdopplung).

3. $2^x = 32 = 2^5 \Rightarrow x = 5$

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Lösung 2

1. Anfangswert $b = 5$, Wachstumsfaktor $a = 3$.

2. $g(2) = 5 \cdot 9 = 45$; $g(-1) = 5 \cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{5}{3}$

3. $5 \cdot 3^x = 135 \Rightarrow 3^x = 27 = 3^3 \Rightarrow x = 3$

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Lösung 3

1. $P(0\,|\,4) \Rightarrow b = 4$.

$Q(3\,|\,32)$: $4 \cdot a^3 = 32 \Rightarrow a^3 = 8 \Rightarrow a = 2$

2. $f(x) = 4 \cdot 2^x$

3. $f(5) = 4 \cdot 32 = 128$

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Lösung 4

1. $h(4) = 80 \cdot (0{,}75)^4 = 80 \cdot 0{,}3164\ldots \approx 25{,}3\text{ g}$

2. $a = 0{,}75 = 1 - 0{,}25$: Abnahme um $25\,\%$ pro Stunde.

3. Da $0 < a = 0{,}75 < 1$: exponentieller Zerfall.

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Lösung 5

1. $f(2) = 2 \cdot 9 = 18$; $g(2) = 18 \cdot \tfrac{1}{9} = 2$

2. $g(x) = 18 \cdot 3^{-x}$. Gleichung: $2 \cdot 3^x = 18 \cdot 3^{-x}$

$3^{2x} = 9 = 3^2 \Rightarrow x = 1$

Probe: $f(1) = 6$, $g(1) = 6$ ✓

3. $f$ wächst (Basis $3 > 1$), $g$ fällt (Basis $\tfrac{1}{3} < 1$); Schnittpunkt bei $x = 1$.

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Lösung 6

1. $f(0) = 10^{-50} \cdot 1 = 10^{-50}$

2. $10^{-50} \cdot (1{,}000001)^x = 1$

$(1{,}000001)^x = 10^{50}$

$x = \log_{1{,}000001}(10^{50}) = \dfrac{50 \cdot \ln 10}{\ln(1{,}000001)} \approx \dfrac{115{,}13}{0{,}000001} = 115\,129\,254$

Das Verfahren ist exakt dasselbe wie bei Aufgabe 1c — nur mit ungewöhnlicheren Zahlen.

3. Analog: $x = \dfrac{100 \cdot \ln 10}{\ln(1{,}000001)} \approx 230\,258\,509$

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Lösung 7

1. $P(0\,|\,\tfrac{1}{2^{100}}) \Rightarrow b = 2^{-100}$

$Q(100\,|\,1)$: $2^{-100} \cdot a^{100} = 1 \Rightarrow a^{100} = 2^{100} \Rightarrow a = 2$

2. $f(200) = 2^{-100} \cdot 2^{200} = 2^{100}$

3. $a = 2 > 1$: Wachstum — trotz winzigem Startwert.