Logarithmus — Aufgaben

Klasse 10

Grundidee

$\log_a(x)$ ist der Exponent, mit dem man $a$ potenzieren muss, um $x$ zu erhalten: $\log_a(x) = y \Leftrightarrow a^y = x$. Zum Rechnen nutzt man die Logarithmusgesetze (Produkt → Summe, Quotient → Differenz, Potenz → Faktor) sowie den Basiswechsel $\log_a(x) = \frac{\ln x}{\ln a}$, um mit dem Taschenrechner zu rechnen.

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Aufgaben

Aufgabe 1

L

Berechne ohne Taschenrechner:

1. $\log_2(8)$
2. $\log_3(81)$
3. $\log_5(25)$
4. $\log_4\!\left(\dfrac{1}{16}\right)$

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Aufgabe 2

L

Vereinfache mit den Logarithmusgesetzen (Basis $a$ beliebig):

1. $\log_a(x^3 \cdot y)$
2. $\log_a\!\left(\dfrac{x^2}{y^3}\right)$
3. $\log_a(\sqrt{x})$
4. $2\log_a(3) + \log_a(4) - \log_a(6)$

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Aufgabe 3

L

Löse mit dem Logarithmus (Ergebnis auf 3 Dezimalstellen):

1. $2^x = 50$
2. $3^x = 100$
3. $0{,}8^x = 0{,}1$

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Aufgabe 4

L

Löse:

1. $5 \cdot e^{2x} = 60$
2. $\ln(3x - 1) = 4$
3. $\lg(x^2) = 6$

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Aufgabe 5

L

Löse die Gleichung $\log_3(x^2 - 2x) = 2$.

(Hinweis: Zuerst Gleichung in Potenzschreibweise umformen, dann quadratische Gleichung lösen. Probe nicht vergessen — der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert!)

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Aufgabe 6 (absurd)

L

Berechne ohne Taschenrechner, Schritt für Schritt von innen nach außen:

$$\log_2\!\Big(\log_2\!\big(\log_2(65536)\big)\Big)$$

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Aufgabe 7 (absurd)

L

Löse die Gleichung $e^{e^x} = e^{e^2}$.

(Das Verfahren ist identisch zu Aufgabe 3 — nur verschachtelt.)

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Lösungen

Lösung 1

1. $\log_2(8) = 3$, da $2^3 = 8$

2. $\log_3(81) = 4$, da $3^4 = 81$

3. $\log_5(25) = 2$, da $5^2 = 25$

4. $\log_4\!\left(\tfrac{1}{16}\right) = -2$, da $4^{-2} = \tfrac{1}{16}$

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Lösung 2

1. $3\log_a(x) + \log_a(y)$

2. $2\log_a(x) - 3\log_a(y)$

3. $\log_a(x^{1/2}) = \tfrac{1}{2}\log_a(x)$

4. $\log_a(9) + \log_a(4) - \log_a(6) = \log_a\!\left(\dfrac{9 \cdot 4}{6}\right) = \log_a(6)$

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Lösung 3

1. $x = \dfrac{\ln 50}{\ln 2} = \log_2(50) \approx 5{,}644$

2. $x = \dfrac{\ln 100}{\ln 3} \approx 4{,}192$

3. $x = \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}8} \approx 10{,}319$

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Lösung 4

1. $e^{2x} = 12 \Rightarrow 2x = \ln 12 \Rightarrow x = \dfrac{\ln 12}{2} \approx 1{,}242$

2. $3x - 1 = e^4 \Rightarrow x = \dfrac{e^4 + 1}{3} \approx 18{,}532$

3. $\lg(x^2) = 6 \Rightarrow x^2 = 10^6 \Rightarrow x = \pm 1000$

Probe: $\lg(1000^2) = \lg(10^6) = 6$ ✓ (beide Lösungen gültig, $x^2 > 0$)

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Lösung 5

$\log_3(x^2 - 2x) = 2 \Rightarrow x^2 - 2x = 3^2 = 9$

$x^2 - 2x - 9 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{10}$

Probe (Argument muss positiv sein):

• $x_1 = 1 + \sqrt{10} \approx 4{,}16$: $x^2 - 2x \approx 9 > 0$ ✓
• $x_2 = 1 - \sqrt{10} \approx -2{,}16$: $x^2 - 2x = (-2{,}16)^2 - 2(-2{,}16) \approx 9 > 0$ ✓

Beide Lösungen gültig: $\mathbb{L} = \{1 - \sqrt{10},\; 1 + \sqrt{10}\}$

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Lösung 6

Von innen nach außen:

$$65536 = 2^{16} \Rightarrow \log_2(65536) = 16$$

$$\log_2(16) = \log_2(2^4) = 4$$

$$\log_2(4) = \log_2(2^2) = 2$$

$$\log_2\!\Big(\log_2\!\big(\log_2(65536)\big)\Big) = 2$$

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Lösung 7

$$e^{e^x} = e^{e^2}$$

Da die Exponentialfunktion injektiv ist: $e^x = e^2$, also $x = 2$.

Das Verfahren ist identisch zu $3^x = 100$: Gleichung der Form $a^{(\ldots)} = a^{(\ldots)}$ → Exponenten vergleichen — nur zweimal hintereinander.