Simulation und Monte-Carlo — Aufgaben

Klasse 10

Aufgaben

Aufgabe 1

L

Ein fairer Würfel wurde $200$-mal geworfen. Die Ergebnisse:

Augenzahl	1	2	3	4	5	6
Häufigkeit	31	38	28	35	34	34

1. Berechne die relative Häufigkeit jeder Augenzahl.
2. Vergleiche mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit $\tfrac{1}{6}$.
3. Schätze aus der Simulation: Wie oft fiel eine Zahl $\geq 4$?

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Aufgabe 2

L

Zur Simulation eines Münzwurfs wird die Zuordnung verwendet: gerade Ziffer = Kopf (K), ungerade Ziffer = Zahl (Z). Folgende Zufallsziffernfolge liegt vor:

$$3,\;7,\;2,\;5,\;8,\;1,\;0,\;4,\;9,\;6,\;2,\;3,\;5,\;8,\;4$$

1. Übertrage in K/Z-Folge.
2. Berechne die relative Häufigkeit von Kopf.
3. Wie viele aufeinanderfolgende Ziffern müsste man auswerten, um $P(\text{K}) = 0{,}5 \pm 0{,}05$ mit hoher Sicherheit schätzen zu können? (Schätzung, keine genaue Berechnung nötig.)

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Aufgabe 3

L

Zwei faire Würfel werden gleichzeitig geworfen. Gesucht ist $P(\text{Summe} = 7)$.

1. Berechne die theoretische Wahrscheinlichkeit exakt.
2. Beschreibe, wie du das Experiment mit einer Tabelle von Zufallszahlen (Ziffern 1–6) simulieren würdest.
3. Eine Simulation mit $n = 500$ ergab 84 mal die Summe 7. Vergleiche die relative Häufigkeit mit dem theoretischen Wert.

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Aufgabe 4

L

Zur Schätzung von $\pi$ werden $n = 1000$ zufällige Punkte $(x, y)$ mit $x, y \in [0, 1]$ erzeugt. Davon liegen $786$ Punkte innerhalb des Viertelkreises ($x^2 + y^2 \leq 1$).

1. Schätze $\pi$ aus diesen Daten.
2. Wie groß ist der absolute Fehler gegenüber dem wahren Wert $\pi \approx 3{,}14159$?
3. Was müsste man tun, um die Schätzung zu verbessern?

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Aufgabe 5

L

Das Geburtstagsproblem: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von $k$ Personen mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben?

Für $k = 23$ berechnet man:

$$P(\text{alle verschieden}) = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdots \frac{343}{365}$$

1. Erkläre, warum dieser Term die Wahrscheinlichkeit für „alle verschieden” beschreibt.
2. Berechne $P(\text{alle verschieden})$ für $k = 23$ (Taschenrechner).
3. Was ist $P(\text{mindestens zwei gleich})$?
4. Beschreibe, wie man dieses Ergebnis mit einer Simulation überprüfen könnte.

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Aufgabe 6

L

Eine Simulation von $n = 10^8$ Versuchen ergibt, dass ein Ereignis $A$ in $31\,416\,000$ Versuchen eintritt.

1. Schätze $P(A)$ aus der Simulation.
2. Welche bekannte Konstante schätzt diese Simulation offenbar?
3. Was wird hier geometrisch simuliert?

(Das Verfahren ist identisch zu Aufgabe 4.)

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Aufgabe 7

L

Eine faire Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal Kopf fällt. Sei $X$ die Anzahl der Würfe.

1. Berechne $P(X = 1)$, $P(X = 2)$, $P(X = 3)$, $P(X = k)$.
2. Berechne $P(X \leq 10)$.
3. Beschreibe, wie man $P(X \leq 10)$ mit einer Simulation schätzen könnte.

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Lösungen

Lösung 1

1. Relative Häufigkeiten: $\tfrac{31}{200} = 0{,}155$; $\tfrac{38}{200} = 0{,}190$; $\tfrac{28}{200} = 0{,}140$; $\tfrac{35}{200} = 0{,}175$; $\tfrac{34}{200} = 0{,}170$; $\tfrac{34}{200} = 0{,}170$

2. Theoretisch je $\tfrac{1}{6} \approx 0{,}167$. Alle Werte liegen nahe daran — typische Schwankungen bei $n = 200$.

3. Zahlen $\geq 4$: $35 + 34 + 34 = 103$ Mal. Relative Häufigkeit: $\tfrac{103}{200} = 0{,}515$ (theoretisch $0{,}5$).

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Lösung 2

1. Ungerade: Z, Z, K, Z, K, Z, K, K, Z, K, K, Z, Z, K, K → 8 K, 7 Z

2. $\tfrac{8}{15} \approx 0{,}533$

3. Faustregel: Bei $n$ Versuchen liegt die relative Häufigkeit mit hoher Wahrscheinlichkeit im Bereich $0{,}5 \pm \tfrac{1}{\sqrt{n}}$. Für $\pm 0{,}05$: $\tfrac{1}{\sqrt{n}} \approx 0{,}05 \Rightarrow n \approx 400$.

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Lösung 3

1. Günstige Paare mit Summe 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — 6 von 36.

$P = \tfrac{6}{36} = \tfrac{1}{6} \approx 0{,}167$

2. Zwei unabhängige Zufallsziffern 1–6 erzeugen. Wenn ihre Summe 7 ergibt: Treffer. $n$ mal wiederholen.

3. Relative Häufigkeit: $\tfrac{84}{500} = 0{,}168$ — sehr nahe am theoretischen Wert $0{,}167$.

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Lösung 4

1. $\pi \approx 4 \cdot \tfrac{786}{1000} = 4 \cdot 0{,}786 = 3{,}144$

2. $|3{,}144 - 3{,}14159| \approx 0{,}002$

3. $n$ erhöhen — bei $n = 10^6$ ist die Schätzung typischerweise auf $\pm 0{,}001$ genau.

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Lösung 5

1. Die erste Person hat frei wählbaren Geburtstag (Faktor $\tfrac{365}{365} = 1$). Die zweite muss einen anderen Tag haben ($\tfrac{364}{365}$), die dritte noch einen anderen ($\tfrac{363}{365}$) usw. bis zur 23. Person ($\tfrac{343}{365}$).

2. $P(\text{alle verschieden}) = \dfrac{365!/(365-23)!}{365^{23}} \approx 0{,}4927$

3. $P(\text{mind. zwei gleich}) = 1 - 0{,}4927 \approx 0{,}5073 > 0{,}5$

4. Simulation: Für jede Gruppe zufällig 23 Zahlen aus $\{1, \ldots, 365\}$ ziehen (mit Zurücklegen). Prüfen, ob eine Zahl doppelt vorkommt. Nach vielen Gruppen die relative Häufigkeit berechnen.

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Lösung 6

1. $P(A) \approx \tfrac{31\,416\,000}{100\,000\,000} = 0{,}31416$

2. $0{,}31416 \approx \tfrac{\pi}{10}$ — offenbar wird $\pi$ geschätzt.

3. Es wird die Monte-Carlo-Methode für den Viertelkreis verwendet, aber nur $\tfrac{1}{10}$ des Quadrats genutzt, oder der Radius ist $\tfrac{1}{\sqrt{10}}$. Wahrscheinlicher: Es wird $P(x^2 + y^2 \leq 0{,}1)$ über $[0,1]^2$ simuliert — die Fläche des Viertelkreises mit Radius $\sqrt{0{,}1}$ ist $\tfrac{\pi \cdot 0{,}1}{4} \approx 0{,}0785$. Am naheliegendsten: klassische $\pi/4$-Simulation mit $\pi \approx 4 \cdot 0{,}31416 \approx 3{,}1416$. ✓

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Lösung 7

1. $P(X = k) = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k-1} \cdot \tfrac{1}{2} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^k$

$P(X=1) = \tfrac{1}{2}$, $P(X=2) = \tfrac{1}{4}$, $P(X=3) = \tfrac{1}{8}$

2. $P(X \leq 10) = 1 - P(X > 10) = 1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{10} = 1 - \tfrac{1}{1024} \approx 0{,}999$

3. Simulation: Münze werfen (oder Zufallszahl $\in \{0,1\}$ erzeugen), bis erstmals 1 (Kopf) erscheint. Anzahl der Würfe notieren. Diesen Versuch $n = 10\,000$ mal wiederholen. Anteil der Versuche mit $X \leq 10$ berechnen.