Simulation und Monte-Carlo — Aufgaben

Klasse 10

Published

March 15, 2026

Grundidee

Simulation schätzt Wahrscheinlichkeiten durch wiederholtes Durchführen (oder Nachbilden) eines Zufallsexperiments. Das Ergebnis ist die relative Häufigkeit des Ereignisses über alle Versuche. Je größer die Anzahl der Versuche $n$ , desto näher liegt die relative Häufigkeit an der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit. Bei der Monte-Carlo-Methode werden Zufallszahlen genutzt, um geometrische oder schwer berechenbare Wahrscheinlichkeiten zu schätzen.

Aufgaben

Aufgabe 1

Ein fairer Würfel wurde $200$ -mal geworfen. Die Ergebnisse:

Augenzahl	1	2	3	4	5	6
Häufigkeit	31	38	28	35	34	34

Berechne die relative Häufigkeit jeder Augenzahl.
Vergleiche mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit $\tfrac{1}{6}$ .
Schätze aus der Simulation: Wie oft fiel eine Zahl $\geq 4$ ?

Aufgabe 2

Zur Simulation eines Münzwurfs wird die Zuordnung verwendet: gerade Ziffer = Kopf (K), ungerade Ziffer = Zahl (Z). Folgende Zufallsziffernfolge liegt vor:

$3,\;7,\;2,\;5,\;8,\;1,\;0,\;4,\;9,\;6,\;2,\;3,\;5,\;8,\;4$

Übertrage in K/Z-Folge.
Berechne die relative Häufigkeit von Kopf.
Wie viele aufeinanderfolgende Ziffern müsste man auswerten, um $P(\text{K}) = 0{,}5 \pm 0{,}05$ mit hoher Sicherheit schätzen zu können? (Schätzung, keine genaue Berechnung nötig.)

Aufgabe 3

Zwei faire Würfel werden gleichzeitig geworfen. Gesucht ist $P(\text{Summe} = 7)$ .

Berechne die theoretische Wahrscheinlichkeit exakt.
Beschreibe, wie du das Experiment mit einer Tabelle von Zufallszahlen (Ziffern 1–6) simulieren würdest.
Eine Simulation mit $n = 500$ ergab 84 mal die Summe 7. Vergleiche die relative Häufigkeit mit dem theoretischen Wert.

Aufgabe 4

Zur Schätzung von $\pi$ werden $n = 1000$ zufällige Punkte $(x, y)$ mit $x, y \in [0, 1]$ erzeugt. Davon liegen $786$ Punkte innerhalb des Viertelkreises ( $x^2 + y^2 \leq 1$ ).

Schätze $\pi$ aus diesen Daten.
Wie groß ist der absolute Fehler gegenüber dem wahren Wert $\pi \approx 3{,}14159$ ?
Was müsste man tun, um die Schätzung zu verbessern?

Aufgabe 5

Das Geburtstagsproblem: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von $k$ Personen mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben?

Für $k = 23$ berechnet man:

$P(\text{alle verschieden}) = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdots \frac{343}{365}$

Erkläre, warum dieser Term die Wahrscheinlichkeit für „alle verschieden” beschreibt.
Berechne $P(\text{alle verschieden})$ für $k = 23$ (Taschenrechner).
Was ist $P(\text{mindestens zwei gleich})$ ?
Beschreibe, wie man dieses Ergebnis mit einer Simulation überprüfen könnte.

Aufgabe 6 (absurd)

Eine Simulation von $n = 10^8$ Versuchen ergibt, dass ein Ereignis $A$ in $31\,416\,000$ Versuchen eintritt.

Schätze $P(A)$ aus der Simulation.
Welche bekannte Konstante schätzt diese Simulation offenbar?
Was wird hier geometrisch simuliert?

(Das Verfahren ist identisch zu Aufgabe 4.)

Aufgabe 7 (absurd)

Eine faire Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal Kopf fällt. Sei $X$ die Anzahl der Würfe.

Berechne $P(X = 1)$ , $P(X = 2)$ , $P(X = 3)$ , $P(X = k)$ .
Berechne $P(X \leq 10)$ .
Beschreibe, wie man $P(X \leq 10)$ mit einer Simulation schätzen könnte.

Lösungen

Lösung 1

Relative Häufigkeiten: $\tfrac{31}{200} = 0{,}155$ ; $\tfrac{38}{200} = 0{,}190$ ; $\tfrac{28}{200} = 0{,}140$ ; $\tfrac{35}{200} = 0{,}175$ ; $\tfrac{34}{200} = 0{,}170$ ; $\tfrac{34}{200} = 0{,}170$
Theoretisch je $\tfrac{1}{6} \approx 0{,}167$ . Alle Werte liegen nahe daran — typische Schwankungen bei $n = 200$ .
Zahlen $\geq 4$ : $35 + 34 + 34 = 103$ Mal. Relative Häufigkeit: $\tfrac{103}{200} = 0{,}515$ (theoretisch $0{,}5$ ).

Lösung 2

Ungerade: Z, Z, K, Z, K, Z, K, K, Z, K, K, Z, Z, K, K → 8 K, 7 Z
$\tfrac{8}{15} \approx 0{,}533$
Faustregel: Bei $n$ Versuchen liegt die relative Häufigkeit mit hoher Wahrscheinlichkeit im Bereich $0{,}5 \pm \tfrac{1}{\sqrt{n}}$ . Für $\pm 0{,}05$ : $\tfrac{1}{\sqrt{n}} \approx 0{,}05 \Rightarrow n \approx 400$ .

Lösung 3

Günstige Paare mit Summe 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — 6 von 36.

$P = \tfrac{6}{36} = \tfrac{1}{6} \approx 0{,}167$

Zwei unabhängige Zufallsziffern 1–6 erzeugen. Wenn ihre Summe 7 ergibt: Treffer. $n$ mal wiederholen.
Relative Häufigkeit: $\tfrac{84}{500} = 0{,}168$ — sehr nahe am theoretischen Wert $0{,}167$ .

Lösung 4

$\pi \approx 4 \cdot \tfrac{786}{1000} = 4 \cdot 0{,}786 = 3{,}144$
$|3{,}144 - 3{,}14159| \approx 0{,}002$
$n$ erhöhen — bei $n = 10^6$ ist die Schätzung typischerweise auf $\pm 0{,}001$ genau.

Lösung 5

Die erste Person hat frei wählbaren Geburtstag (Faktor $\tfrac{365}{365} = 1$ ). Die zweite muss einen anderen Tag haben ( $\tfrac{364}{365}$ ), die dritte noch einen anderen ( $\tfrac{363}{365}$ ) usw. bis zur 23. Person ( $\tfrac{343}{365}$ ).
$P(\text{alle verschieden}) = \dfrac{365!/(365-23)!}{365^{23}} \approx 0{,}4927$
$P(\text{mind. zwei gleich}) = 1 - 0{,}4927 \approx 0{,}5073 > 0{,}5$
Simulation: Für jede Gruppe zufällig 23 Zahlen aus $\{1, \ldots, 365\}$ ziehen (mit Zurücklegen). Prüfen, ob eine Zahl doppelt vorkommt. Nach vielen Gruppen die relative Häufigkeit berechnen.

Lösung 6

$P(A) \approx \tfrac{31\,416\,000}{100\,000\,000} = 0{,}31416$
$0{,}31416 \approx \tfrac{\pi}{10}$ — offenbar wird $\pi$ geschätzt.
Es wird die Monte-Carlo-Methode für den Viertelkreis verwendet, aber nur $\tfrac{1}{10}$ des Quadrats genutzt, oder der Radius ist $\tfrac{1}{\sqrt{10}}$ . Wahrscheinlicher: Es wird $P(x^2 + y^2 \leq 0{,}1)$ über $[0,1]^2$ simuliert — die Fläche des Viertelkreises mit Radius $\sqrt{0{,}1}$ ist $\tfrac{\pi \cdot 0{,}1}{4} \approx 0{,}0785$ . Am naheliegendsten: klassische $\pi/4$ -Simulation mit $\pi \approx 4 \cdot 0{,}31416 \approx 3{,}1416$ . ✓

Lösung 7

$P(X = k) = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k-1} \cdot \tfrac{1}{2} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^k$

$P(X=1) = \tfrac{1}{2}$ , $P(X=2) = \tfrac{1}{4}$ , $P(X=3) = \tfrac{1}{8}$

$P(X \leq 10) = 1 - P(X > 10) = 1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{10} = 1 - \tfrac{1}{1024} \approx 0{,}999$
Simulation: Münze werfen (oder Zufallszahl $\in \{0,1\}$ erzeugen), bis erstmals 1 (Kopf) erscheint. Anzahl der Würfe notieren. Diesen Versuch $n = 10\,000$ mal wiederholen. Anteil der Versuche mit $X \leq 10$ berechnen.