Pyramide, Kegel, Zylinder und Kugel

Klasse 10

Veröffentlichungsdatum

15. März 2026

Aufgaben

Aufgabe 1

Ein Zylinder hat Grundkreisradius $r = 3\,\text{cm}$ und Höhe $h = 5\,\text{cm}$ .

Berechne das Volumen.
Berechne die Oberfläche.

Aufgabe 2

Eine Kugel hat den Radius $r = 4\,\text{cm}$ .

Berechne das Volumen.
Berechne die Oberfläche.
Um welchen Faktor steigen $V$ und $O$ , wenn der Radius verdoppelt wird?

Aufgabe 3

Ein gerader Kreiskegel hat Grundkreisradius $r = 4\,\text{cm}$ und Höhe $h = 3\,\text{cm}$ .

Berechne die Mantellinie $s$ .
Berechne das Volumen und die Oberfläche.

Aufgabe 4

Eine quadratische Pyramide hat die Grundkantenlänge $a = 6\,\text{cm}$ und die Höhe $h = 4\,\text{cm}$ .

Berechne die Höhe $h_s$ der Seitendreiecke.
Berechne Volumen und Oberfläche.

Aufgabe 5

Ein Körper besteht aus einem Zylinder ( $r = 3\,\text{cm}$ , $h = 8\,\text{cm}$ ), auf dem ein Kegel ( $r = 3\,\text{cm}$ , $h = 4\,\text{cm}$ ) aufgesetzt ist.

Berechne das Gesamtvolumen.
Berechne die sichtbare Oberfläche (Grundkreis des Zylinders + Mantel des Zylinders + Mantel des Kegels).

Aufgabe 6

Das Diagramm vergleicht die Volumina dreier Körper mit $r = 3$ und $h = 5$ (Längen in cm).

Bestätige die drei abgelesenen Werte durch Rechnung.
In welchem Verhältnis stehen die Volumina von Kegel und Zylinder? Begründe, dass dieses Verhältnis von $r$ und $h$ unabhängig ist.
Wie groß müsste $h$ beim Zylinder sein, damit er dasselbe Volumen hat wie die Kugel?

Aufgabe 7

Gesucht ist eine Kugel, bei der Volumen und Oberfläche numerisch denselben Wert haben (gleiche Zahl, unabhängig von Einheiten).

Für welchen Radius $r$ gilt $V = O$ ?

(Das Vorgehen ist identisch zu Aufgabe 2 — nur wird die Gleichung aufgelöst statt eingesetzt.)

Aufgabe 8

Ein Zylinder hat die Eigenschaft $h = 2r$ (Höhe ist doppelter Radius). Sein Volumen beträgt $V = 1\,000\pi\,\text{cm}^3$ .

Berechne $r$ und $h$ .
Berechne die Oberfläche.

(Das Vorgehen ist identisch zu Aufgabe 1 — der Ausdruck für $h$ wird nur zusätzlich eingesetzt.)

Lösungen

Lösung 1

$V = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = 45\pi \approx 141{,}4\,\text{cm}^3$
$O = 2\pi \cdot 3^2 + 2\pi \cdot 3 \cdot 5 = 18\pi + 30\pi = 48\pi \approx 150{,}8\,\text{cm}^2$

Lösung 2

$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 4^3 = \dfrac{256\pi}{3} \approx 268{,}1\,\text{cm}^3$
$O = 4\pi \cdot 4^2 = 64\pi \approx 201{,}1\,\text{cm}^2$
Radius $r \to 2r$ :

$V' = \frac{4}{3}\pi(2r)^3 = 8 \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = 8V \quad\Rightarrow\quad \text{Faktor 8}$

$O' = 4\pi(2r)^2 = 4 \cdot 4\pi r^2 = 4O \quad\Rightarrow\quad \text{Faktor 4}$

Lösung 3

$s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}$
$V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 3 = 16\pi \approx 50{,}3\,\text{cm}^3$

$O = \pi \cdot 4^2 + \pi \cdot 4 \cdot 5 = 16\pi + 20\pi = 36\pi \approx 113{,}1\,\text{cm}^2$

Lösung 4

$h_s = \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}$
$V = \dfrac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 4 = \dfrac{1}{3} \cdot 144 = 48\,\text{cm}^3$

Mantelfläche: $4 \cdot \dfrac{6 \cdot 5}{2} = 60\,\text{cm}^2$

$O = 6^2 + 60 = 36 + 60 = 96\,\text{cm}^2$

Lösung 5

$V_{\text{Zyl}} = \pi \cdot 3^2 \cdot 8 = 72\pi$

$V_{\text{Kegel}} = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 12\pi$

$V_{\text{ges}} = 84\pi \approx 263{,}9\,\text{cm}^3$

Mantellinie des Kegels: $s = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\text{cm}$

$O = \underbrace{\pi \cdot 3^2}_{\text{Grundkreis}} + \underbrace{2\pi \cdot 3 \cdot 8}_{\text{Zyl.-Mantel}} + \underbrace{\pi \cdot 3 \cdot 5}_{\text{Kegel-Mantel}}$

$= 9\pi + 48\pi + 15\pi = 72\pi \approx 226{,}2\,\text{cm}^2$

Lösung 6

$V_{\text{Zyl}} = \pi r^2 h = \pi \cdot 9 \cdot 5 = 45\pi \approx 141{,}4\,\text{cm}^3$

$V_{\text{Kegel}} = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = 15\pi \approx 47{,}1\,\text{cm}^3$

$V_{\text{Kugel}} = \tfrac{4}{3}\pi r^3 = \tfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \approx 113{,}1\,\text{cm}^3$

$\frac{V_{\text{Kegel}}}{V_{\text{Zyl}}} = \frac{\tfrac{1}{3}\pi r^2 h}{\pi r^2 h} = \frac{1}{3}$

Da $\pi r^2 h$ vollständig gekürzt wird, bleibt immer $1 : 3$ — unabhängig von $r$ und $h$ .

$\pi r^2 h = \tfrac{4}{3}\pi r^3 \;\Longrightarrow\; h = \tfrac{4}{3} r = 4\,\text{cm}$

Lösung 7

$V = O \quad\Rightarrow\quad \frac{4}{3}\pi r^3 = 4\pi r^2$

Dividieren durch $4\pi r^2$ (für $r > 0$ ):

$\frac{r}{3} = 1 \quad\Rightarrow\quad r = 3$

Bei $r = 3$ gilt numerisch $V = O = 36\pi$ .

Lösung 8

$h = 2r$ einsetzen:

$V = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3 = 1\,000\pi$

$r^3 = 500 \quad\Rightarrow\quad r = \sqrt[3]{500} \approx 7{,}94\,\text{cm}$

$h = 2r \approx 15{,}87\,\text{cm}$

$O = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot 2r = 2\pi r^2 + 4\pi r^2 = 6\pi r^2$

$O = 6\pi \cdot 500^{2/3} \approx 6\pi \cdot 63{,}0 \approx 1\,187\,\text{cm}^2$