Kapitel V: Anwendungen der Differenzialrechnung

V.1 Monotonie

Monotonieverhalten und Vorzeichen von $f'$

Streng monoton steigend/fallend: $f'(x) > 0$ bzw. $f'(x) < 0$

Monotonietabelle aufstellen

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V.2 Extremstellen

Notwendige Bedingung: $f'(x_0) = 0$

Hinreichende Bedingung I: Vorzeichenwechselkriterium

Hinreichende Bedingung II: zweite Ableitung ($f''(x_0) \neq 0$)

Lokale und globale Extrema

Randextrema auf einem Intervall

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V.3 Krümmung und zweite Ableitung

Linkskrümmung ($f'' > 0$) und Rechtskrümmung ($f'' < 0$)

Krümmungsverhalten als Monotonieverhalten von $f'$

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V.4 Wendestellen

Notwendige Bedingung: $f''(x_0) = 0$

Hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von $f''$

Sattelpunkte (Terrassenpunkte)

Wendepunkt als Stelle maximalen/minimalen Wachstums

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V.5 Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen

Vollständige Vorgehensweise

1. Definitionsmenge
2. Symmetrie
3. Nullstellen
4. Extrempunkte (notwendige und hinreichende Bedingung)
5. Wendepunkte
6. Verhalten für $x \to \pm\infty$
7. Graph

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V.6 Newton-Verfahren

Idee: iterative Näherung an eine Nullstelle

Iterationsformel: $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Geometrische Deutung: Tangente an $f$ im Punkt $x_n$

Konvergenz und Startwertwahl

Anwendung in der Praxis

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Rückblick: Wichtige Formeln