Kapitel I: Spezielle Eigenschaften von Funktionen

I.1 Bekannte Funktionstypen im Überblick

Ganzrationale Funktionen

Eine ganzrationale Funktion (Polynom) hat die Form $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \quad a_n \neq 0$

Grad $n$ : bestimmt das Verhalten für $x \to \pm\infty$ und die maximale Anzahl der Nullstellen
Definitionsmenge: $\mathbb{R}$
Gerader Grad: beide Enden zeigen in dieselbe Richtung
Ungerader Grad: die Enden zeigen in entgegengesetzte Richtungen

Potenzfunktionen x⁰ bis x³ als Grundbausteine ganzrationaler Funktionen

Exponentialfunktionen

$f(x) = b \cdot a^x, \quad a > 0,\; a \neq 1,\; b \neq 0$

Definitionsmenge: $\mathbb{R}$ , Wertemenge: $(0, \infty)$ für $b > 0$
Keine Nullstellen; $x$ -Achse ist waagrechte Asymptote
$a > 1$ : streng monoton steigend; $0 < a < 1$ : streng monoton fallend

Spezialfall: natürliche Exponentialfunktion $f(x) = e^x$ mit $e \approx 2{,}718$

Logarithmusfunktionen

$f(x) = \log_a x, \quad a > 0,\; a \neq 1$

Definitionsmenge: $(0, \infty)$ , Wertemenge: $\mathbb{R}$
Nullstelle bei $x = 1$ ; $y$ -Achse ist senkrechte Asymptote
Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: $a^{\log_a x} = x$

Spezialfall: natürlicher Logarithmus $\ln x = \log_e x$

Trigonometrische Funktionen

$f(x) = \sin x, \quad g(x) = \cos x$

Definitionsmenge: $\mathbb{R}$ , Wertemenge: $[-1, 1]$
Periode: $2\pi$
$\sin x$ : punktsymmetrisch zum Ursprung; $\cos x$ : achsensymmetrisch zur $y$ -Achse
Nullstellen von $\sin x$ : $x = k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$
Nullstellen von $\cos x$ : $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$

Vergleich der Typen

Eigenschaft	Ganzrational	Exponential	Logarithmus	Sinus/Kosinus
Definitionsmenge	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	$(0,\infty)$	$\mathbb{R}$
Wertemenge	$\mathbb{R}$ (ab Grad 1)	$(0,\infty)$	$\mathbb{R}$	$[-1,1]$
Nullstellen	möglich	keine	$x=1$	$x = k\pi$ (sin)
Asymptote	keine	waagrecht	senkrecht	keine
Periodisch	nein	nein	nein	ja

I.2 Grenzverhalten

Grenzverhalten für $x \to +\infty$ und $x \to -\infty$

Das Grenzverhalten beschreibt, was mit $f(x)$ passiert, wenn $x$ beliebig groß oder beliebig klein (negativ) wird.

Schreibweisen:

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = c$ : $f(x)$ nähert sich dem Wert $c$ von unten
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ : $f(x)$ wächst unbeschränkt
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ : $f(x)$ fällt unbeschränkt

Ganzrationale Funktionen werden vom führenden Term $a_n x^n$ bestimmt:

Grad $n$	$a_n > 0$	$a_n < 0$
gerade	$+\infty$ für $x \to \pm\infty$	$-\infty$ für $x \to \pm\infty$
ungerade	$+\infty$ für $x \to +\infty$ , $-\infty$ für $x \to -\infty$	$-\infty$ für $x \to +\infty$ , $+\infty$ für $x \to -\infty$

Gerade Exponenten (links): beide Enden gleichgerichtet — ungerade Exponenten (rechts): Enden entgegengesetzt

Beispiel: $f(x) = -2x^4 + 3x^2 - 1$

$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} (-2x^4) = -\infty$

Konvergenz und Divergenz

Eine Funktion konvergiert gegen $c$ für $x \to \infty$ , wenn $\lim_{x \to \infty} f(x) = c$ mit $c \in \mathbb{R}$ .

Eine Funktion divergiert, wenn der Grenzwert $\pm\infty$ ist oder nicht existiert.

Funktion	$x \to +\infty$	$x \to -\infty$
$f(x) = 2^x$	$+\infty$ (divergiert)	$0$ (konvergiert)
$f(x) = \left(\tfrac{1}{2}\right)^x$	$0$ (konvergiert)	$+\infty$ (divergiert)
$f(x) = \ln x$	$+\infty$ (divergiert)	nicht definiert
$f(x) = \sin x$	existiert nicht	existiert nicht

Grenzwert einer Funktion an einer Stelle

Neben dem Verhalten im Unendlichen kann man auch fragen, gegen welchen Wert sich $f(x)$ annähert, wenn $x$ gegen eine feste Stelle $x_0$ strebt:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$

Das ist insbesondere wichtig, wenn $f$ an der Stelle $x_0$ nicht definiert ist (z.B. bei Polstellen oder Definitionslücken).

Beispiel: Für $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ ist $x_0 = 1$ nicht im Definitionsbereich. Aber: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$

I.3 Symmetrie

Achsensymmetrie zur $y$ -Achse

Ein Funktionsgraph ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse, wenn für alle $x$ im Definitionsbereich gilt: $f(-x) = f(x)$

Solche Funktionen nennt man gerade Funktionen.

Beispiele: $f(x) = x^2$ , $f(x) = x^4 - 3x^2$ , $f(x) = \cos x$ , $f(x) = |x|$

Punktsymmetrie zum Ursprung

Ein Funktionsgraph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle $x$ gilt: $f(-x) = -f(x)$

Solche Funktionen nennt man ungerade Funktionen.

Beispiele: $f(x) = x^3$ , $f(x) = x^3 - 2x$ , $f(x) = \sin x$

Rechnerische Überprüfung

Vorgehen: $f(-x)$ berechnen und mit $f(x)$ bzw. $-f(x)$ vergleichen.

Beispiel 1: $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 1$

$f(-x) = 3(-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 = 3x^4 - 2x^2 + 1 = f(x) \quad \checkmark \text{ (gerade)}$

Beispiel 2: $f(x) = x^5 - 4x^3 + x$

$f(-x) = (-x)^5 - 4(-x)^3 + (-x) = -x^5 + 4x^3 - x = -(x^5 - 4x^3 + x) = -f(x) \quad \checkmark \text{ (ungerade)}$

Beispiel 3: $f(x) = x^2 + x$

$f(-x) = x^2 - x \neq f(x) \text{ und } f(-x) \neq -f(x) \quad \Rightarrow \text{ keine Symmetrie}$

Kurzregel für Polynome: Ein Polynom ist genau dann gerade, wenn alle Exponenten gerade sind; genau dann ungerade, wenn alle Exponenten ungerade sind.

Achsensymmetrie (links) und Punktsymmetrie (rechts)

I.4 Transformationen von Funktionsgraphen

Ausgehend von einer Grundfunktion $f(x)$ lassen sich Graphen durch Transformationen verschieben, strecken oder spiegeln. Die allgemeine Form ist:

$g(x) = a \cdot f(b \cdot (x - c)) + d$

Verschiebung

Vertikale Verschiebung um $d$ : $g(x) = f(x) + d$ - $d > 0$ : Verschiebung nach oben - $d < 0$ : Verschiebung nach unten

Horizontale Verschiebung um $c$ : $g(x) = f(x - c)$ - $c > 0$ : Verschiebung nach rechts - $c < 0$ : Verschiebung nach links

Merkhilfe: Das Vorzeichen bei der horizontalen Verschiebung wirkt „umgekehrt”: $f(x - 2)$ verschiebt nach rechts.

Streckung und Stauchung

Vertikale Streckung mit Faktor $a$ (Streckung in $y$ -Richtung): $g(x) = a \cdot f(x)$ - $|a| > 1$ : Streckung (Graph wird steiler) - $0 < |a| < 1$ : Stauchung (Graph wird flacher)

Horizontale Streckung mit Faktor $\frac{1}{b}$ (Streckung in $x$ -Richtung): $g(x) = f(b \cdot x)$ - $|b| > 1$ : Stauchung in $x$ -Richtung (Graph wird schmaler) - $0 < |b| < 1$ : Streckung in $x$ -Richtung (Graph wird breiter)

Spiegelung

Transformation	Formel	Wirkung
Spiegelung an $x$ -Achse	$g(x) = -f(x)$	$y$ -Werte werden negiert
Spiegelung an $y$ -Achse	$g(x) = f(-x)$	$x$ -Werte werden negiert

Reihenfolge von Transformationen

Bei der allgemeinen Form $g(x) = a \cdot f(b \cdot (x - c)) + d$ gilt folgende Reihenfolge:

Horizontale Streckung/Stauchung (Faktor $b$ )
Horizontale Verschiebung um $c$
Vertikale Streckung/Stauchung (Faktor $a$ ), ggf. Spiegelung an $x$ -Achse
Vertikale Verschiebung um $d$

Beispiel: $g(x) = 2\sin(3(x - 1)) + 4$ entsteht aus $f(x) = \sin x$ durch:

Horizontale Stauchung (Faktor 3): $\sin(3x)$
Verschiebung um 1 nach rechts: $\sin(3(x-1))$
Vertikale Streckung (Faktor 2): $2\sin(3(x-1))$
Verschiebung um 4 nach oben: $2\sin(3(x-1)) + 4$

I.5 Stetigkeit

Begriff der Stetigkeit

Eine Funktion $f$ ist an der Stelle $x_0$ stetig, wenn drei Bedingungen erfüllt sind:

$f(x_0)$ ist definiert
$\lim_{x \to x_0} f(x)$ existiert
$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Anschaulich: der Graph lässt sich ohne Absetzen des Stiftes zeichnen — keine Sprünge, keine Lücken, keine senkrechten Asymptoten.

Auf einem Intervall ist $f$ stetig, wenn sie an jeder Stelle des Intervalls stetig ist.

Alle bekannten Grundfunktionen (Polynome, $e^x$ , $\ln x$ , $\sin x$ , $\cos x$ ) sind auf ihren Definitionsmengen stetig.

Abschnittsweise definierte Funktionen

Eine Funktion kann durch verschiedene Terme auf verschiedenen Teilintervallen definiert sein:

$f(x) = \begin{cases} x^2 & x < 1 \\ 2x - 1 & x \geq 1 \end{cases}$

An der Übergangsstelle $x_0 = 1$ muss geprüft werden, ob die Funktion stetig ist.

Vorgehen: - Linksseitiger Grenzwert: $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ - Rechtsseitiger Grenzwert: $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ - Funktionswert: $f(x_0)$

Stetig $\iff$ alle drei Werte sind gleich.

Prüfung des Beispiels: $\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1, \qquad \lim_{x \to 1^+} (2x-1) = 1, \qquad f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$

Da alle drei Werte übereinstimmen: $f$ ist bei $x_0 = 1$ stetig.

Unstetigkeitsstellen erkennen und klassifizieren

Typ	Merkmal	Beispiel
Sprungstelle	links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren, sind aber verschieden	abschnittsweise definierte Funktion
Hebbare Lücke	$\lim_{x \to x_0} f(x)$ existiert, aber $f(x_0)$ ist nicht definiert oder ungleich dem Grenzwert	$\frac{x^2-1}{x-1}$ bei $x_0 = 1$
Polstelle	$\|f(x)\| \to \infty$ für $x \to x_0$	$\frac{1}{x}$ bei $x_0 = 0$

Stetige Funktion (links) und Sprungstelle (rechts)

Rückblick: Wichtige Eigenschaften

Eigenschaft	Bedingung	Prüfung
Gerade Funktion	$f(-x) = f(x)$	$-x$ einsetzen und vereinfachen
Ungerade Funktion	$f(-x) = -f(x)$	$-x$ einsetzen und vereinfachen
Stetig bei $x_0$	$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$	links-/rechtsseitige Grenzwerte prüfen
Konvergenz für $x \to \infty$	Grenzwert $\in \mathbb{R}$	führenden Term betrachten