Kapitel II: Gebrochen-rationale Funktionen

II.1 Einführung: Graphen und ihre Eigenschaften

Gebrochen-rationale Funktionen begegnen uns überall dort, wo ein Ausdruck im Nenner von $x$ abhängt — etwa beim Ohmgesetz $I = \frac{U}{R}$ oder bei Konzentrationsproblemen.

Die einfachste gebrochen-rationale Funktion ist die Hyperbel: $$f(x) = \frac{1}{x}$$

Die Grundfunktion f(x) = 1/x: zwei Äste, keine Nullstelle, Asymptoten an den Achsen

Auffällig: Der Graph nähert sich den Koordinatenachsen immer mehr an, ohne sie zu berühren — die Achsen sind Asymptoten. An der Stelle $x = 0$ ist $f$ nicht definiert — dort liegt eine Polstelle.

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II.2 Definition und Definitionsmenge

Gebrochen-rationale Funktion

Eine gebrochen-rationale Funktion hat die Form $$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$$ wobei $p(x)$ und $q(x)$ Polynome sind und $q(x) \not\equiv 0$.

Im Rahmen von Klasse 11 haben Zähler und Nenner höchstens Grad 2.

Definitionsmenge

Die Definitionsmenge ergibt sich, indem alle Nullstellen des Nenners ausgeschlossen werden: $$D = \mathbb{R} \setminus \{x \mid q(x) = 0\}$$

Beispiel: $f(x) = \dfrac{x+1}{x^2 - 4} = \dfrac{x+1}{(x-2)(x+2)}$

Nullstellen des Nenners: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$

$$D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\, 2\}$$

Nullstellen

Eine Stelle $x_0 \in D$ mit $f(x_0) = 0$ heißt Nullstelle von $f$.

Da ein Bruch genau dann null ist, wenn der Zähler null ist (und der Nenner nicht), gilt:

$$f(x_0) = 0 \iff p(x_0) = 0 \text{ und } q(x_0) \neq 0$$

Beispiel: $f(x) = \dfrac{x+1}{x^2-4}$ hat die Nullstelle $x_0 = -1$, denn $p(-1) = 0$ und $q(-1) = (-1)^2 - 4 = -3 \neq 0$. ✓

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II.3 Polstellen und hebbare Definitionslücken

An einer Stelle, an der der Nenner null wird, kann Verschiedenes passieren — je nachdem, ob der Zähler dort auch null wird.

Polstelle

Ist $q(x_0) = 0$ und $p(x_0) \neq 0$, so heißt $x_0$ eine Polstelle von $f$.

In der Nähe einer Polstelle wird $|f(x)|$ beliebig groß: $$\lim_{x \to x_0} |f(x)| = +\infty$$

Die senkrechte Gerade $x = x_0$ ist dann eine senkrechte Asymptote.

Hebbare Definitionslücke

Ist $q(x_0) = 0$ und $p(x_0) = 0$, so liegt möglicherweise eine hebbare Definitionslücke vor. Man kürzt den gemeinsamen Faktor heraus:

$$f(x) = \frac{(x-x_0) \cdot \tilde{p}(x)}{(x-x_0) \cdot \tilde{q}(x)} = \frac{\tilde{p}(x)}{\tilde{q}(x)} \quad \text{für } x \neq x_0$$

Der Graph hat an der Stelle $x_0$ eine Lücke (offener Punkt), aber keine senkrechte Asymptote.

Beispiel: $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1 \quad (x \neq 1)$

Links: Polstelle bei x = 0 (f(x) = 1/x²) — Rechts: hebbare Lücke bei x = 1 (f(x) = (x²−1)/(x−1))

Polstelle mit und ohne Vorzeichenwechsel

An einer Polstelle $x_0$ entscheidet das Vorzeichen von $f(x)$ links und rechts von $x_0$, ob der Graph von derselben oder von verschiedenen Seiten gegen $\pm\infty$ strebt.

Dazu verwendet man eine Vorzeichentabelle: Man untersucht das Vorzeichen von Zähler und Nenner getrennt in kleinen Umgebungen links und rechts von $x_0$.

Beispiel: $f(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$, Polstelle $x_0 = 2$

	$x \to 2^-$	$x \to 2^+$
$x + 1$	$3 > 0$	$3 > 0$
$x - 2$	$< 0$	$> 0$
$f(x)$	$-\infty$	$+\infty$

→ Vorzeichenwechsel: der Graph kommt von $-\infty$ und geht nach $+\infty$.

Bei $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ (Polstelle $x_0 = 0$): Nenner $x^2 > 0$ auf beiden Seiten → kein Vorzeichenwechsel, Graph strebt von beiden Seiten nach $+\infty$.

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II.4 Grenzverhalten und waagrechte Asymptoten

Grenzverhalten für $x \to \pm\infty$

Das Verhalten einer gebrochen-rationalen Funktion für $x \to \pm\infty$ wird durch den Grad von Zähler ($\deg p = m$) und Nenner ($\deg q = n$) bestimmt.

Entscheidungsregel:

Beziehung	Grenzverhalten	Asymptote
$m < n$	$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$	waagrecht: $y = 0$
$m = n$	$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \dfrac{a_m}{b_n}$ (Verhältnis der führenden Koeffizienten)	waagrecht: $y = \dfrac{a_m}{b_n}$
$m = n + 1$	$|f(x)| \to \infty$, lineares Verhalten	schräg (s. II.5)
$m > n + 1$	$|f(x)| \to \infty$, polynomiales Verhalten	keine Asymptote

Waagrechte Asymptote bestimmen

Eine Gerade $y = c$ heißt waagrechte Asymptote, wenn $\lim_{x \to +\infty} f(x) = c$ oder $\lim_{x \to -\infty} f(x) = c$.

Beispiel 1: $f(x) = \dfrac{3x}{x^2 + 1}$, $m = 1 < n = 2$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x}{x^2+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3/x}{1 + 1/x^2} = 0$$ Waagrechte Asymptote: $y = 0$.

Beispiel 2: $f(x) = \dfrac{2x^2 - 1}{x^2 + 3}$, $m = n = 2$, führende Koeffizienten 2 und 1: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 1}{x^2 + 3} = \frac{2}{1} = 2$$ Waagrechte Asymptote: $y = 2$.

Waagrechte Asymptoten: f(x) → 0 (blau) und f(x) → 2 (rot) für x → ±∞

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II.5 Schräge Asymptoten und Polynomdivision

Wann entsteht eine schräge Asymptote?

Ist $\deg p = \deg q + 1$, so wächst $f(x)$ für $x \to \pm\infty$ unbeschränkt, aber linear. Es gibt dann eine schräge Asymptote der Form $y = ax + b$.

Polynomdivision

Man erhält die schräge Asymptote durch Polynomdivision: $p(x) \div q(x)$.

Das Ergebnis hat die Form $$f(x) = \underbrace{ax + b}_{\text{Asymptote}} + \underbrace{\frac{r(x)}{q(x)}}_{\to\, 0 \text{ für } x \to \pm\infty}$$

wobei $r(x)$ der Rest ist (Grad kleiner als Grad von $q$).

Beispiel: $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x} = \dfrac{x^2}{x} + \dfrac{1}{x} = x + \dfrac{1}{x}$

Schräge Asymptote: $y = x$ (denn $\dfrac{1}{x} \to 0$ für $x \to \pm\infty$).

Komplexeres Beispiel: $f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$

Polynomdivision: $$(x^2 - 2x + 3) \div (x - 1) = x - 1 + \frac{2}{x-1}$$

Schräge Asymptote: $y = x - 1$.

f(x) = (x²−2x+3)/(x−1) mit schräger Asymptote y = x−1 und Polstelle x = 1

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II.6 Vollständige Kurvendiskussion

Die vollständige Analyse einer gebrochen-rationalen Funktion umfasst alle Schritte systematisch. Wir führen sie an einem Beispiel durch:

$$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x+1)}$$

Schritt 1: Definitionsmenge

Nullstellen des Nenners: $x = 1$ und $x = -1$

$$D = \mathbb{R} \setminus \{-1,\, 1\}$$

Schritt 2: Hebbare Lücken prüfen

Keine gemeinsamen Nullstellen von Zähler und Nenner → keine hebbaren Lücken, beide Stellen sind Polstellen.

Schritt 3: Symmetrie

$$f(-x) = \frac{(-x)^2 - 4}{(-x)^2 - 1} = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} = f(x)$$

→ $f$ ist eine gerade Funktion, der Graph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

Schritt 4: Nullstellen

$$f(x) = 0 \iff x^2 - 4 = 0 \iff x = \pm 2$$

Beide Stellen liegen in $D$ ✓ → Nullstellen bei $x_1 = -2$ und $x_2 = 2$.

Schritt 5: Polstellen und senkrechte Asymptoten

Polstellen bei $x = -1$ und $x = 1$. Vorzeichentabelle für $x \to 1^\pm$:

	$x \to 1^-$	$x \to 1^+$
$x^2 - 4$	$-3 < 0$	$-3 < 0$
$(x-1)(x+1)$	$(0^-)(2) < 0$	$(0^+)(2) > 0$
$f(x)$	$+\infty$	$-\infty$

→ Vorzeichenwechsel bei $x = 1$ (und analog bei $x = -1$ wegen Symmetrie).

Schritt 6: Grenzverhalten und waagrechte Asymptote

$\deg p = \deg q = 2$, Verhältnis der führenden Koeffizienten: $\dfrac{1}{1} = 1$

$$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1 \quad \Rightarrow \quad \text{waagrechte Asymptote: } y = 1$$

Schritt 7: $y$-Achsenabschnitt

$$f(0) = \frac{0 - 4}{0 - 1} = 4$$

Ergebnis: Graph

f(x) = (x²−4)/(x²−1): zwei Polstellen, zwei Nullstellen, waagrechte Asymptote y = 1

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Rückblick: Wichtige Formeln und Vorgehensweisen

Schritt	Was tun	Wie
Definitionsmenge	Nullstellen des Nenners ausschließen	$q(x) = 0$ lösen
Hebbare Lücke	Gemeinsamen Faktor kürzen	$p(x_0) = 0$ und $q(x_0) = 0$
Nullstellen	Zähler null setzen	$p(x) = 0$, Ergebnis in $D$ prüfen
Polstellen	Nenner null, Zähler $\neq 0$	Vorzeichen links/rechts bestimmen
Waagrechte Asymptote	$\deg p \leq \deg q$	Grenzwert oder Koeffizientenvergleich
Schräge Asymptote	$\deg p = \deg q + 1$	Polynomdivision
Symmetrie	$f(-x)$ berechnen	gerade: $f(-x) = f(x)$; ungerade: $f(-x) = -f(x)$