Klasse 9 – Grundlagen

Alles, was man bis Ende der 9. Klasse am bayerischen Gymnasium beherrschen sollte (kumulativ ab Klasse 5).

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Zahlen und Rechnen (Klasse 5–6)

Zahlenmengen

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

• $\mathbb{N}$: natürliche Zahlen $\{0, 1, 2, 3, \ldots\}$
• $\mathbb{Z}$: ganze Zahlen $\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$
• $\mathbb{Q}$: rationale Zahlen (Brüche $\frac{p}{q}$, endliche und periodische Dezimalbrüche)
• $\mathbb{R}$: reelle Zahlen (inkl. irrationaler Zahlen wie $\sqrt{2}$, $\pi$)

Brüche und Dezimalbrüche

$$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k} \quad \text{(Erweitern)} \qquad \frac{a \cdot k}{b \cdot k} = \frac{a}{b} \quad \text{(Kürzen)}$$

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \qquad \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \qquad \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

Periodische Dezimalbrüche sind rational, z. B. $0{,}\overline{3} = \frac{1}{3}$.

Potenzen und Zehnerpotenzen

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{mn} \qquad a^0 = 1$$

$$10^3 = 1000, \quad 10^{-3} = 0{,}001$$

Prozentrechnung

$$W = \frac{p}{100} \cdot G \qquad p = \frac{W}{G} \cdot 100 \qquad G = \frac{W \cdot 100}{p}$$

($W$: Prozentwert, $p$: Prozentsatz, $G$: Grundwert)

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Terme und Gleichungen (Klasse 7–8)

Termumformungen

Ausmultiplizieren: $a(b + c) = ab + ac$

Faktorisieren: $ab + ac = a(b + c)$

Binomische Formeln:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

Lineare Gleichungen

Äquivalenzumformungen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division beider Seiten mit gleicher Zahl (Division $\neq 0$).

Lösungsform: $x = c$ (genau eine Lösung), oder unlösbar, oder $\mathbb{R}$ (jede Zahl Lösung).

Lineare Gleichungssysteme (Klasse 8)

Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte. Lösungsverfahren:

• Einsetzungsverfahren: eine Variable auflösen und einsetzen
• Additionsverfahren: Gleichungen so multiplizieren, dass sich eine Variable weghebt

$$\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$$

Bruchterme und Bruchgleichungen (Klasse 8)

Definitionsmenge beachten (Nenner $\neq 0$). Hauptnenner bestimmen, dann multiplizieren und wie lineare Gleichung lösen. Probe ist Pflicht!

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Geometrie – Grundbegriffe und Winkel (Klasse 5–7)

Winkel an Geraden

• Scheitelwinkel: gleich groß
• Nebenwinkel: ergänzen sich zu $180°$
• Stufenwinkel (an Parallelen, gleiches $F$): gleich groß
• Wechselwinkel (an Parallelen, $Z$-Form): gleich groß

Winkelsummen:

$$\text{Dreieck: } \alpha + \beta + \gamma = 180° \qquad \text{Viereck: } \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°$$

Symmetrie

• Achsensymmetrie: Spiegelung an einer Geraden; spiegelbildliche Hälften
• Punktsymmetrie: Drehung um $180°$ um den Symmetriepunkt

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Geometrie – Flächeninhalte und Körper (Klasse 5–8)

Flächeninhalte

Figur	Formel
Rechteck	$A = a \cdot b$
Dreieck	$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
Parallelogramm	$A = g \cdot h$
Trapez	$A = \frac{(a + c)}{2} \cdot h$
Kreis	$A = \pi r^2$

Kreisumfang: $U = 2\pi r = \pi d$

Körper

Körper	Volumen	Oberfläche
Quader	$V = a \cdot b \cdot c$	$O = 2(ab + bc + ca)$
Prisma	$V = G \cdot h$	$O = 2G + M$
Zylinder	$V = \pi r^2 h$	$O = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

($G$: Grundfläche, $M$: Mantelfläche)

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Kongruenz und Ähnlichkeit (Klasse 7, 9)

Kongruenz

Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie durch Verschiebung, Spiegelung oder Drehung aufeinander abgebildet werden können (gleiche Form und Größe).

Kongruenzsätze für Dreiecke: SWS, SSS, WSW, SsW

Ähnlichkeit (Klasse 9)

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn alle Winkel gleich und alle Seiten proportional sind (gleiche Form, verschiedene Größe).

Ähnlichkeitsfaktor $k$: $$k = \frac{a'}{a} \qquad A' = k^2 \cdot A \qquad V' = k^3 \cdot V$$

Strahlensatz

V-Figur (zwei Strahlen durch Punkt $Z$, von parallelen Geraden geschnitten):

$$\frac{ZA}{ZA'} = \frac{ZB}{ZB'} = \frac{AB}{A'B'}$$

X-Figur (zwei sich schneidende Geraden, Parallele $g \parallel h$):

$$\frac{ZA}{ZA'} = \frac{ZB}{ZB'}$$

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Satz des Pythagoras (Klasse 9)

Im rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse $c$ und Katheten $a$, $b$:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Kehrsatz: $c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow$ Dreieck ist rechtwinklig.

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Trigonometrie (Klasse 9)

Im rechtwinkligen Dreieck (Winkel $\alpha$, anliegende Kathete $b$, gegenüberliegende Kathete $a$, Hypotenuse $c$):

$$\sin\alpha = \frac{a}{c} \qquad \cos\alpha = \frac{b}{c} \qquad \tan\alpha = \frac{a}{b}$$

Grundbeziehungen:

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \qquad \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

Am Einheitskreis: $P(\alpha) = (\cos\alpha,\, \sin\alpha)$

Allgemeines Dreieck — Sinussatz:

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$$

Kosinussatz:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$$

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Funktionen (Klasse 8–9)

Funktionsbegriff (Klasse 8)

Eine Funktion ordnet jedem $x$ aus der Definitionsmenge genau ein $y$ zu: $y = f(x)$.

Lineare Funktion: $f(x) = mx + b$

• $m$: Steigung, $b$: $y$-Achsenabschnitt
• Graph: Gerade; $m > 0$ steigend, $m < 0$ fallend, $m = 0$ konstant

Hyperbel (elementare gebrochen-rationale Funktion): $f(x) = \frac{1}{x}$

• Definitionsmenge $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, Asymptoten: $x$-Achse und $y$-Achse
• Verschoben: $f(x) = \frac{1}{x - a} + b$

Quadratische Funktionen (Klasse 9)

Normalform: $f(x) = ax^2 + bx + c$

Scheitelpunktform: $f(x) = a(x - d)^2 + e$, Scheitelpunkt $S(d \mid e)$

Umrechnung durch quadratische Ergänzung: $$ax^2 + bx + c = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}$$

Lösungsformel (Mitternachtsformel):

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Diskriminante $D = b^2 - 4ac$:

$D > 0$	zwei reelle Nullstellen
$D = 0$	eine doppelte Nullstelle
$D < 0$	keine reelle Nullstelle

Aufgabe: Überlegen Sie sich anhand der Mitternachtsformel, warum es für $D < 0$ keine und für $ D = 0$ genau eine Nullstelle gibt. Dies erklärt die Funktion der Diskriminante.

Satz von Vieta (für $x^2 + px + q = 0$):

$$x_1 + x_2 = -p \qquad x_1 \cdot x_2 = q$$

Dieser Satz wird meist in der Schule nicht behandelt. Er ist kann dabei helfen, schneller NS zu finden als mit der Mitternachtsformel.

Potenzfunktionen (Klasse 9)

$$f(x) = x^n \quad (n \in \mathbb{N})$$

• $n$ gerade: achsensymmetrisch zur $y$-Achse, Wertemenge $[0, \infty)$
• $n$ ungerade: punktsymmetrisch zum Ursprung, Wertemenge $\mathbb{R}$

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Reelle Zahlen und Wurzeln (Klasse 9)

$$\sqrt{a} \geq 0, \quad (\sqrt{a})^2 = a \quad (a \geq 0) \qquad \sqrt{a^2} = |a|$$

$$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \qquad a\sqrt{c} \pm b\sqrt{c} = (a \pm b)\sqrt{c}$$

Potenzen mit rationalen Exponenten:

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \qquad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} \qquad a^{-r} = \frac{1}{a^r}$$

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Stochastik – Grundlagen (Klasse 6–9)

Grundbegriffe: Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis, Wahrscheinlichkeit $P(A) \in [0,1]$.

Laplace-Wahrscheinlichkeit (alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich):

$$P(A) = \frac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}$$

Rechenregeln:

$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Bei unvereinbaren Ereignissen: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Darstellung: Baumdiagramm, Vierfeldertafel, Mengendarstellung.

Statistik — Kenngrößen:

• Arithmetisches Mittel: $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$
• Median: mittlerer Wert der geordneten Datenreihe
• Quartile $Q_1$, $Q_3$; Interquartilsabstand $IQR = Q_3 - Q_1$
• Boxplot: Min – $Q_1$ – Median – $Q_3$ – Max

(Die letzten beiden sind in der Schule nicht so wichtig…) Zum Arithmetischen Mittel: gegeben ist hier die klassische Formel. Sie bedeutet:

$$\frac{\text{Summe aller Glieder}}{\text{Anzahl aller Glieder}}$$