Klasse 10 – Grundlagen

Aufbauend auf Klasse 9.

Exponentialfunktionen und Logarithmus

Exponentialfunktion: $f(x) = b \cdot a^x \quad (a > 0,\, a \neq 1,\, b > 0)$

• $b$: Anfangswert, $a > 1$: Wachstum, $0 < a < 1$: Zerfall
• Asymptote: $x$-Achse, keine Nullstellen, Wertemenge $(0, \infty)$

Logarithmus (Umkehrfunktion):

$$a^x = y \iff x = \log_a y$$

Potenzgesetze:

$$a^r \cdot a^s = a^{r+s} \qquad \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} \qquad (a^r)^s = a^{r \cdot s}$$

Logarithmusgesetze:

$$\log_a(u \cdot v) = \log_a u + \log_a v$$

$$\log_a\!\left(\frac{u}{v}\right) = \log_a u - \log_a v$$

$$\log_a(u^r) = r \cdot \log_a u$$

Basiswechsel: $\displaystyle\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$

Halbwertszeit / Verdopplungszeit:

$$T_{1/2} = \frac{-\ln 2}{\ln a} \quad (0 < a < 1) \qquad T_2 = \frac{\ln 2}{\ln a} \quad (a > 1)$$

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Stochastik – Mehrstufige Zufallsexperimente

Pfadregeln im Baumdiagramm:

$$P(\text{Pfad}) = p_1 \cdot p_2 \cdots p_n \qquad P(A) = \sum_{\text{günstige Pfade}} P(\text{Pfad})$$

Bedingte Wahrscheinlichkeit:

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Stochastische Unabhängigkeit:

$$A, B \text{ unabhängig} \iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Monte-Carlo-Methode: Schätzung von Wahrscheinlichkeiten durch Simulation.

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Sinus- und Kosinusfunktion

Bogenmaß: $\alpha_\text{rad} = \alpha_\text{Grad} \cdot \dfrac{\pi}{180°}$

Einheitskreis: $P(\alpha) = (\cos\alpha,\, \sin\alpha)$

Wichtige Werte:

$\alpha$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$
$\sin$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$
$\cos$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$

Allgemeine Sinusfunktion: $f(x) = a \cdot \sin(b(x - c)) + d$

$$\text{Amplitude} = |a| \qquad \text{Periode} = \frac{2\pi}{b} \qquad \text{Verschiebung in } x: c \qquad \text{in } y: d$$

Symmetrie: $\sin(-x) = -\sin x$ (ungerade), $\cos(-x) = \cos x$ (gerade)

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Ganzrationale Funktionen (Polynome)

$$p(x) = a_n x^n + \cdots + a_0, \quad a_n \neq 0$$

Verhalten für $x \to \pm\infty$: bestimmt durch führenden Term $a_n x^n$

Nullstellen und Vielfachheit $k$:

$k$ gerade	Berühren der $x$-Achse, kein Vorzeichenwechsel
$k$ ungerade	Schneiden der $x$-Achse, Vorzeichenwechsel

Symmetrie: - Nur gerade Potenzen $\Rightarrow$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse - Nur ungerade Potenzen $\Rightarrow$ punktsymmetrisch zum Ursprung

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Raumgeometrie

Körper	Volumen	Oberfläche
Zylinder	$\pi r^2 h$	$2\pi r^2 + 2\pi rh$
Pyramide	$\frac{1}{3}Gh$	$G + M$
Kegel	$\frac{1}{3}\pi r^2 h$	$\pi r(r + s)$
Kugel	$\frac{4}{3}\pi r^3$	$4\pi r^2$

$s = \sqrt{r^2 + h^2}$: Mantellinie des Kegels