Klasse 11 – Grundlagen

Aufbauend auf Klasse 10.

Eigenschaften von Funktionen

Grenzwerte:

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = c \quad \text{(linksseitig und rechtsseitig)}$$

Eine Funktion ist stetig in $x_0$, wenn $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Symmetrie (Wiederholung): - $f(-x) = f(x)$: achsensymmetrisch zur $y$-Achse (gerade Funktion) - $f(-x) = -f(x)$: punktsymmetrisch zum Ursprung (ungerade Funktion)

Verschiebung und Streckung:

$$g(x) = f(x - c) + d \quad \text{(Verschiebung)} \qquad g(x) = a \cdot f(b \cdot x) \quad \text{(Streckung)}$$

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Gebrochen-rationale Funktionen

$$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}, \quad q(x) \neq 0$$

Definitionsmenge: $\mathbb{R}$ ohne Nullstellen von $q(x)$.

Polstelle bei $x_0$: $q(x_0) = 0$ und $p(x_0) \neq 0$ → $|f(x)| \to \infty$

Lücke (hebbare Definitionslücke): $p(x_0) = 0$ und $q(x_0) = 0$ → kürzen möglich.

Verhalten für $x \to \pm\infty$: bestimmt durch Verhältnis der Leitkoeffizienten; bei gleichem Grad Quotient der führenden Koeffizienten.

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Bedingte Wahrscheinlichkeit

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Formel der totalen Wahrscheinlichkeit:

$$P(A) = P(A \mid B) \cdot P(B) + P(A \mid \overline{B}) \cdot P(\overline{B})$$

Satz von Bayes:

$$P(B \mid A) = \frac{P(A \mid B) \cdot P(B)}{P(A)}$$

Stochastische Unabhängigkeit:

$$P(A \mid B) = P(A) \iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

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Differentialrechnung

Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate auf $[x_0, x_0+h]$):

$$\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

Differentialquotient (lokale Änderungsrate, Ableitung):

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

Ableitungsregeln:

Regel	Formel
Potenzregel	$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
Faktorregel	$(c \cdot f)' = c \cdot f'$
Summenregel	$(f + g)' = f' + g'$
Konstantenregel	$c' = 0$

Tangentengleichung in $x_0$:

$$t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)$$

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Kurvendiskussion (ganzrationale Funktionen)

Erste Ableitung und Monotonie:

$$f'(x) > 0 \Rightarrow \text{streng monoton steigend} \qquad f'(x) < 0 \Rightarrow \text{streng monoton fallend}$$

Extremstellen: notwendige Bedingung $f'(x_0) = 0$

Hinreichende Bedingung (2. Ableitungstest):

$$f''(x_0) > 0 \Rightarrow \text{lokales Minimum} \qquad f''(x_0) < 0 \Rightarrow \text{lokales Maximum}$$

Krümmung:

$$f''(x) > 0 \Rightarrow \text{linksgekrümmt (konvex)} \qquad f''(x) < 0 \Rightarrow \text{rechtsgekrümmt (konkav)}$$

Wendepunkt: $f''(x_0) = 0$ und $f''$ wechselt Vorzeichen (notwendig + hinreichend: $f'''(x_0) \neq 0$).

Vollständige Kurvendiskussion:

1. Definitionsmenge, Symmetrie
2. Nullstellen, $y$-Achsenabschnitt
3. Ableitungen $f'$, $f''$
4. Extremstellen und -punkte
5. Wendestellen und -punkte
6. Verhalten für $x \to \pm\infty$
7. Skizze