Klasse 13 – Grundlagen

Aufbauend auf Klasse 12.

Integralrechnung

Stammfunktion: $F$ ist Stammfunktion von $f$, wenn $F'(x) = f(x)$.

Grundstammfunktionen:

$f(x)$	$F(x)$
$x^n$ ($n \neq -1$)	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
$\frac{1}{x}$	$\ln|x|$
$e^x$	$e^x$
$e^{ax}$	$\frac{1}{a}e^{ax}$
$\sin x$	$-\cos x$
$\cos x$	$\sin x$

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

$$\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b$$

Rechenregeln:

$$\int_a^b c \cdot f(x)\, dx = c \int_a^b f(x)\, dx$$

$$\int_a^b \bigl(f(x) + g(x)\bigr)\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_a^b g(x)\, dx$$

$$\int_a^b f(x)\, dx = -\int_b^a f(x)\, dx \qquad \int_a^a f(x)\, dx = 0$$

Flächeninhalt zwischen Graph und $x$-Achse:

$$A = \int_a^b |f(x)|\, dx$$

Bei Vorzeichenwechsel: Intervall aufteilen, Beträge addieren.

Flächeninhalt zwischen zwei Graphen:

$$A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\, dx$$

Volumen eines Rotationskörpers (Rotation von $f$ um die $x$-Achse):

$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\, dx$$

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Normalverteilung

Gaußsche Glockenfunktion:

$$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \quad \text{(Standardnormalverteilung } \mathcal{N}(0,1)\text{)}$$

Für $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$: Standardisierung durch $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$

Sigma-Regeln:

$$P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 68{,}3\,\%$$

$$P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 95{,}4\,\%$$

$$P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 99{,}7\,\%$$

Approximation der Binomialverteilung durch Normalverteilung (de Moivre-Laplace):

Für $X \sim B(n, p)$ mit $\mu = np$, $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$:

$$P(X \leq k) \approx \Phi\!\left(\frac{k + 0{,}5 - \mu}{\sigma}\right) \quad \text{(mit Stetigkeitskorrektur)}$$

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Geraden und Ebenen im Raum

Parameterform einer Geraden:

$$g\colon \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}, \quad t \in \mathbb{R}$$

($\vec{p}$: Aufpunkt, $\vec{u}$: Richtungsvektor)

Parameterform einer Ebene:

$$E\colon \vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}, \quad s, t \in \mathbb{R}$$

Normalenvektor $\vec{n}$ steht senkrecht auf der Ebene: $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$

Normalenform:

$$E\colon \vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{p}) = 0$$

Koordinatenform:

$$E\colon n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d, \quad d = \vec{n} \cdot \vec{p}$$

Gegenseitige Lage

Zwei Geraden:

Fall	Kriterium
Identisch	gleicher Richtungsvektor, Punkt liegt auf der anderen
Parallel	Richtungsvektoren kollinear, nicht identisch
Schneidend	eindeutige Lösung des LGS
Windschief	kein gemeinsamer Punkt, nicht parallel

Gerade und Ebene: Richtungsvektor in Ebenengleichung einsetzen.

Zwei Ebenen: parallel (Normalenvektoren kollinear) oder schneidend (Schnittgerade bestimmen).

Abstände

Punkt $Q$ von Ebene $E$ (Hessesche Normalform):

$$d(Q, E) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{q} - d|}{|\vec{n}|}$$

Punkt $Q$ von Gerade $g$:

$$d(Q, g) = \frac{|\overrightarrow{PQ} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$$

Winkel

Schnittwinkel zweier Ebenen (Winkel zwischen Normalenvektoren):

$$\cos\varphi = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$$

Winkel Gerade–Ebene:

$$\sin\varphi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$$

Kugel

Gleichung der Kugel mit Mittelpunkt $M(m_1, m_2, m_3)$ und Radius $r$:

$$(x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2 = r^2$$