Klasse 12 – Grundlagen

Aufbauend auf Klasse 11.

Erweiterte Ableitungsregeln

Produktregel:

(u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'

Kettenregel (verkettete Funktion f(x)=u(v(x))f(x) = u(v(x))):

f′(x)=u′(v(x))⋅v′(x)f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)

Quotientenregel:

(uv)′=u′⋅v−u⋅v′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}

Ableitung von Sinus und Kosinus:

(sin⁡x)′=cos⁡x(cos⁡x)′=−sin⁡x(\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x

Natürliche Exponentialfunktion

f(x)=ex,e≈2,718(ex)′=exf(x) = e^x, \quad e \approx 2{,}718 \qquad (e^x)' = e^x

Mit Kettenregel: (eg(x))′=g′(x)⋅eg(x)(e^{g(x)})' = g'(x) \cdot e^{g(x)}

Natürlicher Logarithmus (Umkehrfunktion von exe^x):

(ln⁡x)′=1x(x>0)(ln⁡(g(x)))′=g′(x)g(x)(\ln x)' = \frac{1}{x} \quad (x > 0) \qquad (\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}

Rechenregeln:

ln⁡(u⋅v)=ln⁡u+ln⁡vln⁡uv=ln⁡u−ln⁡vln⁡(ur)=rln⁡u\ln(u \cdot v) = \ln u + \ln v \qquad \ln\frac{u}{v} = \ln u - \ln v \qquad \ln(u^r) = r \ln u

eln⁡x=xln⁡(ex)=xe^{\ln x} = x \qquad \ln(e^x) = x

Grenzwerte:

limx→∞xnex=0limx→0+x⋅ln⁡x=0\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln x = 0

Wurzelfunktion und Umkehrfunktionen

f(x)=x=x1/2,(x1/2)′=12xf(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}, \quad (x^{1/2})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Allgemein: (xr)′=r⋅xr−1(x^r)' = r \cdot x^{r-1} für r∈ℚr \in \mathbb{Q}

Umkehrfunktion f−1f^{-1}: Graph durch Spiegelung an y=xy = x.

Bedingung: ff streng monoton auf dem betrachteten Intervall.

Stochastik – Kombinatorik und Binomialverteilung

Kombinatorik:

Permutationen von n Elementen:n!\text{Permutationen von } n \text{ Elementen:} \quad n!

Geordnet mit Zurücklegen:nk\text{Geordnet mit Zurücklegen:} \quad n^k

Geordnet ohne Zurücklegen:n!(n−k)!\text{Geordnet ohne Zurücklegen:} \quad \frac{n!}{(n-k)!}

Ungeordnet ohne Zurücklegen (Binomialkoeffizient):(nk)=n!k!(n−k)!\text{Ungeordnet ohne Zurücklegen (Binomialkoeffizient):} \quad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Bernoulli-Kette: nn unabhängige Versuche, jeweils Treffer (pp) oder kein Treffer (1−p1-p).

Binomialverteilung X∼B(n,p)X \sim B(n, p):

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

E(X)=npVar(X)=np(1−p)σ(X)=np(1−p)E(X) = np \qquad \text{Var}(X) = np(1-p) \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}

Beurteilende Statistik – Hypothesentest

Einseitiger Signifikanztest (Beispiel: linksseitig):

  1. Hypothese H0H_0: p≥p0p \geq p_0 (Nullhypothese)
  2. Gegenhypothese H1H_1: p<p0p < p_0
  3. Signifikanzniveau α\alpha (z. B. 5%5\,\%)
  4. Kritischen Bereich KK bestimmen: P(X≤c)≤αP(X \leq c) \leq \alpha
  5. Beobachteten Wert prüfen: liegt er in KK? → H0H_0 ablehnen.

Fehler 1. Art: H0H_0 wird abgelehnt, obwohl sie gilt. Wahrscheinlichkeit ≤α\leq \alpha.

Fehler 2. Art: H0H_0 wird beibehalten, obwohl sie falsch ist.

Vektoren und Koordinatengeometrie im Raum

Vektoren in ℝ3\mathbb{R}^3:

a→=(a1a2a3),|a→|=a12+a22+a32\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, \quad |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

Rechenoperationen:

a→+b→=(a1+b1a2+b2a3+b3)λ⋅a→=(λa1λa2λa3)\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{pmatrix} \qquad \lambda \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} \lambda a_1 \\ \lambda a_2 \\ \lambda a_3 \end{pmatrix}

Skalarprodukt:

a→⋅b→=a1b1+a2b2+a3b3=|a→|⋅|b→|⋅cos⁡φ\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\varphi

a→⟂b→⇔a→⋅b→=0\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

Vektorprodukt (Kreuzprodukt):

a→×b→=(a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1)\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

a→×b→\vec{a} \times \vec{b} steht senkrecht auf a→\vec{a} und b→\vec{b}; |a→×b→||\vec{a} \times \vec{b}| = Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.