Klasse 12 – Grundlagen

Aufbauend auf Klasse 11.

Erweiterte Ableitungsregeln

Produktregel:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Kettenregel (verkettete Funktion $f(x) = u(v(x))$ ):

$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$

Quotientenregel:

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$

Ableitung von Sinus und Kosinus:

$(\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x$

Natürliche Exponentialfunktion

$f(x) = e^x, \quad e \approx 2{,}718 \qquad (e^x)' = e^x$

Mit Kettenregel: $(e^{g(x)})' = g'(x) \cdot e^{g(x)}$

Natürlicher Logarithmus (Umkehrfunktion von $e^x$ ):

$(\ln x)' = \frac{1}{x} \quad (x > 0) \qquad (\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$

Rechenregeln:

$\ln(u \cdot v) = \ln u + \ln v \qquad \ln\frac{u}{v} = \ln u - \ln v \qquad \ln(u^r) = r \ln u$

$e^{\ln x} = x \qquad \ln(e^x) = x$

Grenzwerte:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln x = 0$

Wurzelfunktion und Umkehrfunktionen

$f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}, \quad (x^{1/2})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Allgemein: $(x^r)' = r \cdot x^{r-1}$ für $r \in \mathbb{Q}$

Umkehrfunktion $f^{-1}$ : Graph durch Spiegelung an $y = x$ .

Bedingung: $f$ streng monoton auf dem betrachteten Intervall.

Stochastik – Kombinatorik und Binomialverteilung

Kombinatorik:

$\text{Permutationen von } n \text{ Elementen:} \quad n!$

$\text{Geordnet mit Zurücklegen:} \quad n^k$

$\text{Geordnet ohne Zurücklegen:} \quad \frac{n!}{(n-k)!}$

$\text{Ungeordnet ohne Zurücklegen (Binomialkoeffizient):} \quad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$

Bernoulli-Kette: $n$ unabhängige Versuche, jeweils Treffer ( $p$ ) oder kein Treffer ( $1-p$ ).

Binomialverteilung $X \sim B(n, p)$ :

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

$E(X) = np \qquad \text{Var}(X) = np(1-p) \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$

Beurteilende Statistik – Hypothesentest

Einseitiger Signifikanztest (Beispiel: linksseitig):

Hypothese $H_0$ : $p \geq p_0$ (Nullhypothese)
Gegenhypothese $H_1$ : $p < p_0$
Signifikanzniveau $\alpha$ (z. B. $5\,\%$ )
Kritischen Bereich $K$ bestimmen: $P(X \leq c) \leq \alpha$
Beobachteten Wert prüfen: liegt er in $K$ ? → $H_0$ ablehnen.

Fehler 1. Art: $H_0$ wird abgelehnt, obwohl sie gilt. Wahrscheinlichkeit $\leq \alpha$ .

Fehler 2. Art: $H_0$ wird beibehalten, obwohl sie falsch ist.

Vektoren und Koordinatengeometrie im Raum

Vektoren in $\mathbb{R}^3$ :

$\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, \quad |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

Rechenoperationen:

$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{pmatrix} \qquad \lambda \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} \lambda a_1 \\ \lambda a_2 \\ \lambda a_3 \end{pmatrix}$

Skalarprodukt:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\varphi$

$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Vektorprodukt (Kreuzprodukt):

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$

$\vec{a} \times \vec{b}$ steht senkrecht auf $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ; $|\vec{a} \times \vec{b}|$ = Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.