Kapitel 4: Matrizen

4.1 Definition und Notation

Definition: Matrix

Eine Matrix $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ist eine rechteckige Anordnung von $m \cdot n$ reellen Zahlen in $m$ Zeilen und $n$ Spalten: $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$ Das Element in Zeile $i$ und Spalte $j$ wird mit $a_{ij}$ bezeichnet. Man schreibt auch $A = (a_{ij})$.

Beispiel

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 3 & 4 & -1 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 3}$$ Die Matrix hat 2 Zeilen und 3 Spalten. Das Element $a_{12} = -2$ steht in Zeile 1, Spalte 2.

Übung

Gegeben sei $B = \begin{pmatrix} 5 & 0 & -3 \\ 1 & 2 & 7 \\ -4 & 6 & 1 \end{pmatrix}$. Bestimme $b_{23}$, $b_{31}$ und die Dimension von $B$.

---

4.2 Typen von Matrizen

Definition: Nullmatrix

Die Nullmatrix $0 \in \mathbb{R}^{m \times n}$ hat ausschließlich Nullen als Einträge: $$0 = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}$$ Sie ist das neutrale Element der Matrixaddition.

Definition: Einheitsmatrix

Die Einheitsmatrix $I_n \in \mathbb{R}^{n \times n}$ hat Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen sonst: $$I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}, \quad (I_n)_{ij} = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases}$$

Definition: Diagonalmatrix

Eine quadratische Matrix $D \in \mathbb{R}^{n \times n}$ heißt Diagonalmatrix, wenn $d_{ij} = 0$ für alle $i \neq j$: $$D = \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_{nn} \end{pmatrix}$$

Beispiel

$$I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$

Übung

Ist jede Einheitsmatrix eine Diagonalmatrix? Ist jede Diagonalmatrix eine Einheitsmatrix? Begründe jeweils kurz.

---

4.3 Darstellung von Daten und linearen Abbildungen

Matrizen dienen in der Praxis zwei zentralen Zwecken:

Datendarstellung: Jede Zeile repräsentiert eine Beobachtung, jede Spalte ein Merkmal. Eine Datentabelle mit $m$ Beobachtungen und $n$ Merkmalen ist natürlich als $m \times n$-Matrix darstellbar.

Lineare Abbildungen: Jede lineare Abbildung $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ lässt sich eindeutig durch eine Matrix $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ darstellen, sodass $f(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$.

Beispiel

Die Abbildung $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, die jeden Vektor um 90° dreht, wird durch die Matrix $$R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ dargestellt. Für $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ ergibt sich $R\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Übung

Was bewirkt die Matrix $S = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ geometrisch? Wende $S$ auf $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ an und interpretiere das Ergebnis.