Kapitel 2: Vektoren

2.1 Definition von Vektoren

Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das sowohl eine Richtung als auch einen Betrag (Länge) besitzt. Formal ist ein Vektor ein Element eines Vektorraums.

Definition: Vektor

Ein Vektor $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ ist ein geordnetes $n$-Tupel reeller Zahlen: $$\mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)$$ Die Zahlen $v_i$ heißen Komponenten des Vektors.

Beispiel

Der Vektor $\mathbf{v} = (3, -1, 2)$ ist ein Element des $\mathbb{R}^3$ mit den Komponenten $v_1 = 3$, $v_2 = -1$ und $v_3 = 2$.

Übung

Gegeben sei $\mathbf{w} = (4, 0, -3, 7)$. In welchem Raum liegt $\mathbf{w}$, und was ist die dritte Komponente?

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2.2 Darstellung im $\mathbb{R}^n$

Vektoren im $\mathbb{R}^n$ werden als Spaltenvektor geschrieben: $$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}$$

Im $\mathbb{R}^2$ und $\mathbb{R}^3$ lassen sich Vektoren geometrisch als Pfeile vom Ursprung zu einem Punkt darstellen.

Definition: Euklidische Norm

Die Länge (oder euklidische Norm) eines Vektors $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ ist: $$\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2}$$

Beispiel

Der Vektor $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ zeigt im $\mathbb{R}^2$ vom Ursprung $(0,0)$ zum Punkt $(2, 3)$. Seine Länge beträgt $\|\mathbf{v}\| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$.

Übung

Bestimme die Länge des Vektors $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$.

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2.3 Vektoraddition und Skalarmultiplikation

Definition: Vektoraddition

Seien $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$. Die Summe ist: $$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ \vdots \\ u_n + v_n \end{pmatrix}$$

Definition: Skalarmultiplikation

Sei $c \in \mathbb{R}$ und $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$. Das skalare Vielfache ist: $$c \cdot \mathbf{v} = \begin{pmatrix} c \cdot v_1 \\ c \cdot v_2 \\ \vdots \\ c \cdot v_n \end{pmatrix}$$

Beispiel

Seien $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ und $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Dann gilt: $$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \end{pmatrix}, \qquad 3\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \end{pmatrix}$$

Übung

Seien $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$. Berechne $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ und $-2\mathbf{b}$.

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2.4 Linearkombinationen

Definition: Linearkombination

Seien $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k \in \mathbb{R}^n$ und $c_1, \ldots, c_k \in \mathbb{R}$. Dann heißt $$\mathbf{w} = c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_k \mathbf{v}_k$$ eine Linearkombination der Vektoren $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k$.

Beispiel

Seien $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. Der Vektor $\begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$ lässt sich schreiben als: $$5\mathbf{v}_1 + (-3)\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$$ Jeder Vektor im $\mathbb{R}^2$ ist also eine Linearkombination der Standardbasisvektoren.

Übung

Seien $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$. Finde Koeffizienten $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$, sodass $c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}$.