Gleichungen lösen durch Substitution

Klasse 9/10

Grundidee

Bei Gleichungen, in denen ein Ausdruck $t$ quadratisch vorkommt — also Gleichungen der Form $$a\,t^2 + b\,t + c = 0$$ — lässt sich durch Substitution $u = t$ eine gewöhnliche quadratische Gleichung gewinnen. Typische Fälle: $t = x^2$, $t = x^3$, $t = z^{128}$, …

Wichtig bei der Resubstitution: Gilt $t = x^{2k}$ (gerader Exponent), so ist $t \geq 0$. Negative Lösungen $u < 0$ scheiden dann aus — diese Lösungen gehen verloren. Bei ungeradem Exponenten ($t = x^3$ usw.) nimmt $t$ jeden reellen Wert an, es gehen keine Lösungen verloren.

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Aufgaben

Aufgabe 1

L

Löse $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

Aufgabe 2

L

Löse $x^4 + x^2 - 6 = 0$.

Aufgabe 3

L

Löse $x^6 - 9x^3 + 8 = 0$.

Aufgabe 4

L

Löse $z^{256} - 5z^{128} + 4 = 0$.

Aufgabe 5

L

Löse $z^{256} + z^{128} - 6 = 0$.

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Lösungen

Lösung 1 — $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Substitution $u = x^2$: $$u^2 - 5u + 4 = 0 \implies (u-1)(u-4) = 0 \implies u_1 = 1,\quad u_2 = 4$$

Resubstitution ($u \geq 0$, beide Lösungen gültig): $$u_1 = x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ $$u_2 = x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$

$$\mathbb{L} = \{-2,\,-1,\,1,\,2\}$$

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Lösung 2 — $x^4 + x^2 - 6 = 0$

Substitution $u = x^2$: $$u^2 + u - 6 = 0 \implies (u+3)(u-2) = 0 \implies u_1 = -3,\quad u_2 = 2$$

Resubstitution: $$u_1 = x^2 = -3 \implies \text{keine reelle Lösung} \quad (u_1 < 0 \text{ scheidet aus — zwei Lösungen gehen verloren})$$ $$u_2 = x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$$

$$\mathbb{L} = \{-\sqrt{2},\,\sqrt{2}\}$$

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Lösung 3 — $x^6 - 9x^3 + 8 = 0$

Substitution $u = x^3$: $$u^2 - 9u + 8 = 0 \implies (u-1)(u-8) = 0 \implies u_1 = 1,\quad u_2 = 8$$

Resubstitution ($u = x^3$ nimmt jeden reellen Wert an, kein Verlust möglich): $$u_1 = x^3 = 1 \implies x = 1$$ $$u_2 = x^3 = 8 \implies x = 2$$

$$\mathbb{L} = \{1,\,2\}$$

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Lösung 4 — $z^{256} - 5z^{128} + 4 = 0$

Substitution $u = z^{128}$: $$u^2 - 5u + 4 = 0 \implies (u-1)(u-4) = 0 \implies u_1 = 1,\quad u_2 = 4$$

Die Gleichungsstruktur ist identisch zu Aufgabe 1 — nur der Exponent ist größer.

Resubstitution ($z^{128} \geq 0$, beide Lösungen gültig): $$u_1 = z^{128} = 1 \implies z = \pm 1$$ $$u_2 = z^{128} = 4 \implies z = \pm\sqrt[128]{4} = \pm 2^{1/64}$$

$$\mathbb{L} = \left\{-2^{1/64},\,-1,\,1,\,2^{1/64}\right\}$$

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Lösung 5 — $z^{256} + z^{128} - 6 = 0$

Substitution $u = z^{128}$: $$u^2 + u - 6 = 0 \implies (u+3)(u-2) = 0 \implies u_1 = -3,\quad u_2 = 2$$

Die Gleichungsstruktur ist identisch zu Aufgabe 2.

Resubstitution: $$u_1 = z^{128} = -3 \implies \text{keine reelle Lösung} \quad (u_1 < 0 \text{ scheidet aus — zwei Lösungen gehen verloren})$$ $$u_2 = z^{128} = 2 \implies z = \pm\sqrt[128]{2} = \pm 2^{1/128}$$

$z^{256} \geq 0$ — das Prinzip ist identisch zu Aufgabe 2, egal wie groß der Exponent ist.

$$\mathbb{L} = \left\{-2^{1/128},\,2^{1/128}\right\}$$