Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Klasse 10

Aufgaben

Bestimme alle reellen Nullstellen. Wähle jeweils ein geeignetes Verfahren.

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Aufgabe 1

L

$$f(x) = 2x^2 - 5x - 3$$

Aufgabe 2

L

$$f(x) = x^3 - 9x$$

Aufgabe 3

L

$$f(x) = x^4 - 13x^2 + 36$$

Aufgabe 4

L

$$f(x) = x^{1000} - 2x^{500} + 1$$

Aufgabe 5

L

$$f(x) = x^{201} - x$$

Aufgabe 6

L

$$f(x) = x^{50} - 3x^{25} - 4$$

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Lösungen

Lösung 1 — Mitternachtsformel

$$2x^2 - 5x - 3 = 0 \implies x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}$$

$$x_1 = 3, \qquad x_2 = -\frac{1}{2}$$

$$\mathbb{L} = \left\{-\tfrac{1}{2},\; 3\right\}$$

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Lösung 2 — Ausklammern

$$x^3 - 9x = x\,(x^2 - 9) = x\,(x-3)(x+3)$$

$$\mathbb{L} = \{-3,\; 0,\; 3\}$$

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Lösung 3 — Substitution ($u = x^2$)

$$u^2 - 13u + 36 = 0 \implies (u - 4)(u - 9) = 0 \implies u_1 = 4,\quad u_2 = 9$$

Resubstitution (beide $u > 0$, kein Verlust):

$$x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \qquad x^2 = 9 \implies x = \pm 3$$

$$\mathbb{L} = \{-3,\;-2,\;2,\;3\}$$

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Lösung 4 — Substitution ($u = x^{500}$)

$$u^2 - 2u + 1 = (u - 1)^2 = 0 \implies u = 1$$

Resubstitution ($x^{500} \geq 0$, Lösung gültig):

$$x^{500} = 1 \implies x = \pm 1$$

Die Gleichungsstruktur ist identisch zu $x^4 - 2x^2 + 1 = 0$ — der Exponent ändert nur das Ergebnis der Resubstitution, nicht die Algebra.

$$\mathbb{L} = \{-1,\; 1\}$$

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Lösung 5 — Ausklammern

$$x^{201} - x = x\,(x^{200} - 1) = 0$$

• $x = 0$ ✓
• $x^{200} = 1 \implies x = \pm 1$ (gerader Exponent $\geq 0$, beide Lösungen gültig)

$$\mathbb{L} = \{-1,\; 0,\; 1\}$$

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Lösung 6 — Substitution ($u = x^{25}$), ungerader Exponent

$$u^2 - 3u - 4 = (u - 4)(u + 1) = 0 \implies u_1 = 4,\quad u_2 = -1$$

Resubstitution — $x^{25}$ nimmt jeden reellen Wert an (ungerader Exponent!), daher gehen keine Lösungen verloren:

$$x^{25} = 4 \implies x = \sqrt[25]{4} \qquad x^{25} = -1 \implies x = -1$$

$$\mathbb{L} = \left\{-1,\;\sqrt[25]{4}\right\}$$