Monotonie und Monotonietabelle

Klasse 11

Grundidee

Die Ableitung $f'(x)$ ist die Steigung der Tangente — ihr Vorzeichen verrät daher, ob $f$ steigt oder fällt.

Bedingung auf einem Intervall $I$	Folgerung
$f'(x) > 0$ für alle $x \in I$	$f$ ist auf $I$ streng monoton steigend
$f'(x) < 0$ für alle $x \in I$	$f$ ist auf $I$ streng monoton fallend
$f'(x) = 0$ für alle $x \in I$	$f$ ist auf $I$ konstant

Vorgehen (Monotonietabelle):

1. $f'(x)$ berechnen
2. Nullstellen von $f'$ bestimmen — sie sind die Grenzen der Monotoniebereiche
3. In jedem Teilintervall einen Probewert einsetzen und das Vorzeichen von $f'$ notieren
4. Monotonieverhalten ablesen

Achtung: Eine einzelne Stelle mit $f'(x_0) = 0$ zerstört die Monotonie nicht. Wechselt $f'$ dort das Vorzeichen nicht, so bleibt $f$ über die Stelle hinweg monoton — etwa $f(x) = x^3$ bei $x_0 = 0$.

Oben f(x) = x³ − 3x, unten die Ableitung f’(x) = 3x² − 3. Wo f’ unterhalb der Achse liegt (rot), fällt f.

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Aufgaben

Aufgabe 1

L

Bestimme das Monotonieverhalten von

$$f(x) = x^2 - 4x + 3$$

Stelle dazu eine Monotonietabelle auf.

Aufgabe 2

L

Untersuche $f(x) = x^3 - 3x$ auf Monotonie.

Aufgabe 3

L

Untersuche auf Monotonie:

$$f(x) = \tfrac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 1$$

Aufgabe 4

L

Abgebildet ist der Graph der Ableitung $f'$ einer Funktion $f$ (nicht $f$ selbst!).

Gib an, auf welchen Intervallen $f$ streng monoton steigt bzw. fällt, und an welchen Stellen $f$ Hoch- bzw. Tiefpunkte besitzt.

Aufgabe 5

L

Untersuche auf Monotonie:

$$f(x) = x^4 - 8x^2$$

Aufgabe 6

L

Untersuche auf Monotonie:

$$f(x) = \tfrac{1}{3}x^3 - x^2 + x$$

Was ist an dieser Funktion bemerkenswert?

Aufgabe 7

L

Untersuche auf Monotonie:

$$f(x) = x^{101} - 101x$$

Aufgabe 8

L

Untersuche auf Monotonie:

$$f(x) = 10^{-4}\,x^3 - 12x$$

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Lösungen

Lösung 1

$$f'(x) = 2x - 4 = 2(x - 2)$$

Nullstelle von $f'$: $x = 2$.

Intervall	Probewert	$f'$	Monotonie
$(-\infty,\,2)$	$x = 0$: $f'(0) = -4$	$-$	fallend
$(2,\,+\infty)$	$x = 3$: $f'(3) = 2$	$+$	steigend

$f$ fällt auf $(-\infty,\,2)$ und steigt auf $(2,\,+\infty)$; bei $x = 2$ liegt der Scheitel $TP(2 \mid -1)$.

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Lösung 2

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$$

Nullstellen: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

Intervall	Probewert	$f'$	Monotonie
$(-\infty,\,-1)$	$f'(-2) = 9$	$+$	steigend
$(-1,\,1)$	$f'(0) = -3$	$-$	fallend
$(1,\,+\infty)$	$f'(2) = 9$	$+$	steigend

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Lösung 3

$$f'(x) = x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$$

Nullstellen: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.

Intervall	Probewert	$f'$	Monotonie
$(-\infty,\,-1)$	$f'(-2) = 5$	$+$	steigend
$(-1,\,3)$	$f'(0) = -3$	$-$	fallend
$(3,\,+\infty)$	$f'(4) = 5$	$+$	steigend

Zugehörige Punkte: $HP\!\left(-1 \,\middle|\, \tfrac{8}{3}\right)$ und $TP(3 \mid -8)$.

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Lösung 4

Abgelesen werden die Nullstellen von $f'$ und das Vorzeichen dazwischen — der abgebildete Graph ist bereits $f'$, es muss also nichts mehr abgeleitet werden.

Nullstellen von $f'$: $x = -2$, $x = 1$, $x = 3$.

Intervall	Lage von $f'$	Monotonie von $f$
$(-\infty,\,-2)$	unterhalb der Achse	fallend
$(-2,\,1)$	oberhalb	steigend
$(1,\,3)$	unterhalb	fallend
$(3,\,+\infty)$	oberhalb	steigend

Vorzeichenwechsel von $f'$:

• bei $x = -2$ von $-$ nach $+$ → Tiefpunkt von $f$
• bei $x = 1$ von $+$ nach $-$ → Hochpunkt von $f$
• bei $x = 3$ von $-$ nach $+$ → Tiefpunkt von $f$

Die $y$-Werte dieser Punkte lassen sich aus dem Graphen von $f'$ nicht ablesen — dazu bräuchte man $f$ selbst.

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Lösung 5

$$f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x-2)(x+2)$$

Nullstellen: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.

Intervall	Probewert	$f'$	Monotonie
$(-\infty,\,-2)$	$f'(-3) = -60$	$-$	fallend
$(-2,\,0)$	$f'(-1) = 12$	$+$	steigend
$(0,\,2)$	$f'(1) = -12$	$-$	fallend
$(2,\,+\infty)$	$f'(3) = 60$	$+$	steigend

Punkte: $TP(-2 \mid -16)$, $HP(0 \mid 0)$, $TP(2 \mid -16)$.

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Lösung 6

$$f'(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$$

Einzige Nullstelle: $x = 1$ — sie ist aber doppelt.

Intervall	Probewert	$f'$	Monotonie
$(-\infty,\,1)$	$f'(0) = 1$	$+$	steigend
$(1,\,+\infty)$	$f'(2) = 1$	$+$	steigend

Bemerkenswert: $f'$ wechselt bei $x = 1$ das Vorzeichen nicht (ein Quadrat ist nie negativ). Deshalb ist $f$ auf ganz $\mathbb{R}$ streng monoton steigend, obwohl $f'(1) = 0$ gilt. An der Stelle $x = 1$ hat der Graph eine waagrechte Tangente, aber kein Extremum — es liegt ein Terrassenpunkt vor.

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Lösung 7

$$f'(x) = 101x^{100} - 101 = 101\left(x^{100} - 1\right)$$

Nullstellen: $x^{100} = 1 \Rightarrow x = 1$ oder $x = -1$ (der Exponent ist gerade, daher beide Vorzeichen).

Für das Vorzeichen genügt der Vergleich von $x^{100}$ mit $1$:

Intervall	Probewert	$f'$	Monotonie
$(-\infty,\,-1)$	$x = -2$: $2^{100} > 1$	$+$	steigend
$(-1,\,1)$	$x = 0$: $0 - 1 = -1$	$-$	fallend
$(1,\,+\infty)$	$x = 2$: $2^{100} > 1$	$+$	steigend

Dasselbe Bild wie in Aufgabe 2 — nur mit $x^{100}$ statt $x^2$. Punkte: $HP(-1 \mid 100)$ und $TP(1 \mid -100)$.

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Lösung 8

$$f'(x) = 3 \cdot 10^{-4}\,x^2 - 12$$

Nullstellen:

$$3 \cdot 10^{-4}\,x^2 = 12 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = \frac{12}{3 \cdot 10^{-4}} = 40\,000 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 200$$

Intervall	Probewert	$f'$	Monotonie
$(-\infty,\,-200)$	$f'(-300) = 15$	$+$	steigend
$(-200,\,200)$	$f'(0) = -12$	$-$	fallend
$(200,\,+\infty)$	$f'(300) = 15$	$+$	steigend

Punkte: $HP(-200 \mid 1600)$ und $TP(200 \mid -1600)$. Das Verfahren ist identisch zu Aufgabe 2; nur die Intervallgrenzen liegen weit außen.