Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen

Klasse 11

Veröffentlichungsdatum

19. August 2026

Grundidee

Eine Kurvendiskussion untersucht alle wesentlichen Eigenschaften einer Funktion in fester Reihenfolge. Für ganzrationale Funktionen sind das sieben Schritte:

Schritt	Was	Wie
1	Definitionsmenge	bei Polynomen stets $D = \mathbb{R}$
2	Symmetrie	nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch; nur ungerade → punktsymmetrisch
3	Nullstellen	$f(x) = 0$ : ausklammern, substituieren oder Mitternachtsformel
4	Extrempunkte	$f'(x_0) = 0$ , dann $f''(x_0)$ prüfen
5	Wendepunkte	$f''(x_0) = 0$ , dann Vorzeichenwechsel prüfen
6	Grenzverhalten	nur der Leitterm $a_n x^n$ zählt
7	Graph	alle Punkte eintragen und verbinden

Nützlich: Schritt 2 halbiert die Arbeit. Ist $f$ achsensymmetrisch, genügt es, die rechte Hälfte zu untersuchen — links spiegelt sich alles.

Ergebnis einer vollständigen Kurvendiskussion von f(x) = x⁴ − 4x². Rot: Extrempunkte, orange: Wendepunkte, grün: Nullstellen.

Aufgaben

Aufgabe 1

Führe eine vollständige Kurvendiskussion durch für

$f(x) = x^3 - 3x$

Aufgabe 2

Führe eine vollständige Kurvendiskussion durch für

$f(x) = x^4 - 4x^2$

Aufgabe 3

Führe eine vollständige Kurvendiskussion durch für

$f(x) = -x^3 + 3x^2$

Aufgabe 4

Gegeben ist $f(x) = \tfrac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 5$ .

Bestimme Extrempunkte, Wendepunkt und Grenzverhalten. (Die Nullstellen sind hier nicht exakt bestimmbar — lass sie weg.)

Aufgabe 5

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion $f$ vom Grad $3$ , deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist und den Hochpunkt $HP(-1 \mid 2)$ besitzt.

Bestimme den Funktionsterm.

Aufgabe 6

Führe eine vollständige Kurvendiskussion durch für

$f(x) = 10^{-4}\,x^4 - 2x^2$

Aufgabe 7

Untersuche $f(x) = x^{100} - 100x$ auf Symmetrie, Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und Grenzverhalten.

Lösungen

Lösung 1

1. Definitionsmenge: $D = \mathbb{R}$

2. Symmetrie: Exponenten $3$ und $1$ — alle ungerade → $f(-x) = -f(x)$ , punktsymmetrisch zum Ursprung.

3. Nullstellen: $x^3 - 3x = x(x^2 - 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0$ , $x_{2,3} = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1{,}73$

4. Extrempunkte: $f'(x) = 3x^2 - 3$ , $f''(x) = 6x$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = \pm 1$ .

$f''(-1) = -6 < 0$ → $HP(-1 \mid 2)$
$f''(1) = 6 > 0$ → $TP(1 \mid -2)$

5. Wendepunkte: $f''(x) = 6x = 0 \Rightarrow x = 0$ , Vorzeichenwechsel von $-$ nach $+$ ✓ → $W(0 \mid 0)$

6. Grenzverhalten: Leitterm $x^3$ , Grad ungerade, positiv:

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$

7. Graph: steigt bis $HP(-1\mid 2)$ , fällt durch $W(0\mid 0)$ bis $TP(1 \mid -2)$ , steigt dann wieder.

Lösung 2

1. $D = \mathbb{R}$

2. Symmetrie: Exponenten $4$ und $2$ — alle gerade → achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.

3. Nullstellen: $x^4 - 4x^2 = x^2(x^2 - 4) = x^2(x-2)(x+2) = 0$

$x_1 = 0$ (doppelt), $x_2 = 2$ , $x_3 = -2$

4. Extrempunkte: $f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2)$ , $f''(x) = 12x^2 - 8$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0$ oder $x = \pm\sqrt{2}$ .

$f''(0) = -8 < 0$ → $HP(0 \mid 0)$
$f''(\pm\sqrt{2}) = 24 - 8 = 16 > 0$ → $TP(-\sqrt{2} \mid -4)$ und $TP(\sqrt{2} \mid -4)$

5. Wendepunkte: $12x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 = \tfrac{2}{3} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\tfrac{2}{3}} = \pm\tfrac{\sqrt{6}}{3} \approx \pm 0{,}82$

$f''$ ist eine nach oben geöffnete Parabel → Vorzeichenwechsel an beiden Stellen ✓

$f\!\left(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right) = \tfrac{4}{9} - \tfrac{8}{3} = -\tfrac{20}{9} \approx -2{,}22$

$W_1\!\left(-\tfrac{\sqrt{6}}{3} \,\middle|\, -\tfrac{20}{9}\right), \qquad W_2\!\left(\tfrac{\sqrt{6}}{3} \,\middle|\, -\tfrac{20}{9}\right)$

6. Grenzverhalten: Leitterm $x^4$ , Grad gerade, positiv → $+\infty$ für $x \to \pm\infty$ .

7. Der Graph ist die typische „W-Form” mit zwei Tiefpunkten und einem Hochpunkt dazwischen (siehe Bild oben).

Lösung 3

1. $D = \mathbb{R}$

2. Symmetrie: Exponenten $3$ und $2$ — gemischt → keine der beiden Symmetrien.

3. Nullstellen: $-x^3 + 3x^2 = x^2(-x + 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0$ (doppelt), $x_2 = 3$

4. Extrempunkte: $f'(x) = -3x^2 + 6x = -3x(x-2)$ , $f''(x) = -6x + 6$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0$ oder $x = 2$ .

$f''(0) = 6 > 0$ → $TP(0 \mid 0)$
$f''(2) = -6 < 0$ → $HP(2 \mid 4)$

5. Wendepunkt: $-6x + 6 = 0 \Rightarrow x = 1$ , Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$ ✓

$f(1) = -1 + 3 = 2 \Rightarrow W(1 \mid 2)$

6. Grenzverhalten: Leitterm $-x^3$ , Grad ungerade, negativ:

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$

7. Der Graph kommt von oben links, hat bei $x=0$ einen Tiefpunkt (zugleich doppelte Nullstelle — er berührt dort die $x$ -Achse), steigt zum $HP(2\mid4)$ und fällt dann durch $x=3$ nach unten.

Lösung 4

$f'(x) = x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1), \qquad f''(x) = 2x - 2$

Extrempunkte: $f'(x) = 0 \Rightarrow x_1 = -1$ , $x_2 = 3$ .

$f''(-1) = -4 < 0$ → Maximum. $f(-1) = -\tfrac{1}{3} - 1 + 3 + 5 = \tfrac{20}{3} \approx 6{,}67$ → $HP\!\left(-1 \,\middle|\, \tfrac{20}{3}\right)$
$f''(3) = 4 > 0$ → Minimum. $f(3) = 9 - 9 - 9 + 5 = -4$ → $TP(3 \mid -4)$

Wendepunkt: $2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$ , Vorzeichenwechsel ✓

$f(1) = \tfrac{1}{3} - 1 - 3 + 5 = \tfrac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad W\!\left(1 \,\middle|\, \tfrac{4}{3}\right)$

Grenzverhalten: Leitterm $\tfrac{1}{3}x^3$ , ungerader Grad, positiv → $+\infty$ rechts, $-\infty$ links.

Beachte: Der Wendepunkt liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Extremstellen ( $\tfrac{-1+3}{2} = 1$ ) — bei Funktionen dritten Grades ist das immer so.

Lösung 5

Punktsymmetrie zum Ursprung bei Grad $3$ bedeutet: nur ungerade Exponenten, also

$f(x) = a\,x^3 + b\,x$

Zwei Bedingungen aus dem Hochpunkt $HP(-1 \mid 2)$ :

Waagrechte Tangente: $f'(-1) = 0$ mit $f'(x) = 3a x^2 + b$ : $3a + b = 0$
Der Punkt liegt auf dem Graphen: $f(-1) = 2$ : $-a - b = 2$

Aus (1): $b = -3a$ . Einsetzen in (2):

$-a + 3a = 2 \quad\Longrightarrow\quad 2a = 2 \quad\Longrightarrow\quad a = 1, \quad b = -3$

$f(x) = x^3 - 3x$

Probe: $f'(x) = 3x^2 - 3$ , $f'(-1) = 0$ ✓, $f(-1) = -1 + 3 = 2$ ✓, $f''(-1) = -6 < 0$ → tatsächlich ein Hochpunkt ✓

Lösung 6

1. $D = \mathbb{R}$

2. Symmetrie: Exponenten $4$ und $2$ — beide gerade → achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.

3. Nullstellen: $x^2\left(10^{-4}x^2 - 2\right) = 0$

$x_1 = 0$ (doppelt) oder $x^2 = \dfrac{2}{10^{-4}} = 20\,000 \Rightarrow x = \pm 100\sqrt{2} \approx \pm 141{,}4$

4. Extrempunkte: $f'(x) = 4 \cdot 10^{-4}x^3 - 4x = 4x\left(10^{-4}x^2 - 1\right)$ , $f''(x) = 12 \cdot 10^{-4}x^2 - 4$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0$ oder $x^2 = 10^{4} \Rightarrow x = \pm 100$ .

$f''(0) = -4 < 0$ → $HP(0 \mid 0)$
$f''(\pm 100) = 12 \cdot 10^{-4} \cdot 10^{4} - 4 = 12 - 4 = 8 > 0$

$f(100) = 10^{-4} \cdot 10^{8} - 2 \cdot 10^{4} = 10^{4} - 2 \cdot 10^{4} = -10^{4}$

$TP(-100 \mid -10\,000), \qquad TP(100 \mid -10\,000)$

5. Wendepunkte: $12 \cdot 10^{-4}x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = \dfrac{10^{4}}{3} \Rightarrow x = \pm\dfrac{100}{\sqrt{3}} = \pm\dfrac{100\sqrt{3}}{3} \approx \pm 57{,}7$

$f\!\left(\pm\tfrac{100}{\sqrt{3}}\right) = 10^{-4}\cdot\frac{10^{8}}{9} - 2 \cdot \frac{10^{4}}{3} = \frac{10^{4}}{9} - \frac{6 \cdot 10^{4}}{9} = -\frac{5 \cdot 10^{4}}{9} \approx -5555{,}6$

6. Grenzverhalten: Leitterm $10^{-4}x^4$ , gerader Grad, positiver Koeffizient → $+\infty$ für $x \to \pm\infty$ .

7. Dieselbe „W-Form” wie in Aufgabe 2 — nur um den Faktor $\approx 70$ in $x$ -Richtung gestreckt.

Lösung 7

Symmetrie: Exponenten $100$ (gerade) und $1$ (ungerade) — gemischt → keine Symmetrie.

Nullstellen: $x^{100} - 100x = x\left(x^{99} - 100\right) = 0$

$x_1 = 0$ oder $x^{99} = 100 \Rightarrow x_2 = \sqrt[99]{100} \approx 1{,}048$ (der Exponent $99$ ist ungerade, also genau eine reelle Lösung).

Extrempunkte: $f'(x) = 100x^{99} - 100 = 100\left(x^{99} - 1\right)$ , $f''(x) = 9900\,x^{98}$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x^{99} = 1 \Rightarrow x = 1$ (einzige reelle Lösung).

$f''(1) = 9900 > 0$ → Minimum. $f(1) = 1 - 100 = -99$ :

$TP(1 \mid -99)$

Wendepunkte: $f''(x) = 9900\,x^{98} = 0$ nur bei $x = 0$ . Da $98$ gerade ist, gilt $x^{98} \geq 0$ — kein Vorzeichenwechsel, also kein Wendepunkt. Der Graph ist überall linksgekrümmt.

Grenzverhalten: Leitterm $x^{100}$ , gerader Grad, positiv → $+\infty$ für $x \to \pm\infty$ .

Der Graph sieht aus wie eine sehr flache, dann extrem steil ansteigende Wanne mit dem Tiefpunkt bei $x = 1$ . Jeder Schritt lief genau wie in Aufgabe 1 — nur die Paritäten der Exponenten muss man sorgfältig beachten.