Polstellen und hebbare Definitionslücken

Klasse 11

Grundidee

An einer Definitionslücke $x_0$ (also $q(x_0) = 0$) entscheidet der Zähler, was passiert:

Fall	Bedingung	Verhalten
Polstelle	$q(x_0) = 0$, $p(x_0) \neq 0$	$\lvert f(x)\rvert \to \infty$, senkrechte Asymptote $x = x_0$
Hebbare Lücke	$q(x_0) = 0$ und $p(x_0) = 0$	gemeinsamen Faktor kürzen, Grenzwert existiert

WarnungGemeinsame Nullstelle heißt noch nicht „hebbar”

Nach dem Kürzen muss man erneut hinsehen: Steckt der Faktor $(x-x_0)$ im Nenner öfter als im Zähler, bleibt trotz Kürzen eine Polstelle übrig.

Vorzeichenwechsel. An einer Polstelle prüft man mit einer Vorzeichentabelle, ob der Graph beidseitig in dieselbe Richtung läuft oder nicht. Dazu betrachtet man Zähler und Nenner getrennt knapp links und knapp rechts von $x_0$:

$$f(x) = \frac{x+1}{x-2}, \qquad x_0 = 2$$

	$x \to 2^-$	$x \to 2^+$
$x+1$	$3 > 0$	$3 > 0$
$x-2$	$\to 0^-$	$\to 0^+$
$f(x)$	$-\infty$	$+\infty$

→ mit Vorzeichenwechsel. Bei $f(x) = \frac{1}{x^2}$ dagegen ist der Nenner beidseitig positiv → ohne Vorzeichenwechsel.

Links: Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Mitte: Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Rechts: hebbare Lücke (offener Punkt) — kein Ast läuft ins Unendliche.

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Aufgaben

Aufgabe 1

L

Gegeben ist $f(x) = \dfrac{x+3}{x-1}$.

1. Bestimme die Definitionslücke und weise nach, dass es sich um eine Polstelle handelt.
2. Erstelle die Vorzeichentabelle und gib das Verhalten für $x \to 1^-$ und $x \to 1^+$ an.

Aufgabe 2

L

Untersuche jeweils, ob an der Definitionslücke eine Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel vorliegt:

1. $f(x) = \dfrac{2}{x^2}$

2. $g(x) = \dfrac{5}{x-4}$

Aufgabe 3

L

Gegeben ist

$$f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-x}$$

Bestimme $D$ und untersuche jede Definitionslücke: Polstelle oder hebbare Lücke? Gib bei hebbaren Lücken den Grenzwert an.

Aufgabe 4

L

Der abgebildete Graph gehört zu einer gebrochen-rationalen Funktion $f$.

1. An welcher Stelle liegt eine Polstelle, an welcher eine hebbare Lücke? Woran erkennst du das im Bild?
2. Liegt an der Polstelle ein Vorzeichenwechsel vor?
3. Welchen Wert müsste man an der hebbaren Lücke ergänzen, damit $f$ dort stetig wird?

Aufgabe 5

L

Gegeben ist

$$f(x) = \frac{x^2-4}{x^2-4x+4}$$

Zähler und Nenner haben bei $x = 2$ beide eine Nullstelle. Untersuche, ob dort eine hebbare Lücke vorliegt.

Aufgabe 6

L

Gegeben ist

$$f(x) = \frac{x-1}{x^2-x-6}$$

Bestimme alle Polstellen und untersuche jede mit einer Vorzeichentabelle auf Vorzeichenwechsel.

Aufgabe 7

L

Untersuche die Definitionslücke von

$$f(x) = \frac{x^2 - 10^{12}}{x - 10^{6}}$$

Polstelle oder hebbare Lücke? Gib gegebenenfalls den Grenzwert an.

Aufgabe 8

L

Untersuche die Definitionslücke von

$$f(x) = \frac{x + 10^{100}}{x^2}$$

auf Polstelle bzw. Vorzeichenwechsel.

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Lösungen

Lösung 1

1. Nenner: $x - 1 = 0 \Rightarrow x_0 = 1$, also $D = \mathbb{R}\setminus\{1\}$.

Zähler an dieser Stelle: $p(1) = 1 + 3 = 4 \neq 0$ → Polstelle (keine hebbare Lücke).

2. Vorzeichentabelle:

	$x \to 1^-$	$x \to 1^+$
$x+3$	$4 > 0$	$4 > 0$
$x-1$	$\to 0^-$	$\to 0^+$
$f(x)$	$-\infty$	$+\infty$

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$$

Es liegt ein Vorzeichenwechsel vor; $x = 1$ ist senkrechte Asymptote.

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Lösung 2

1. $D = \mathbb{R}\setminus\{0\}$. Zähler $2 \neq 0$ → Polstelle.

Der Nenner $x^2$ ist links und rechts von $0$ positiv:

	$x \to 0^-$	$x \to 0^+$
$2$	$>0$	$>0$
$x^2$	$\to 0^+$	$\to 0^+$
$f(x)$	$+\infty$	$+\infty$

→ Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

2. $D = \mathbb{R}\setminus\{4\}$. Zähler $5 \neq 0$ → Polstelle.

$x - 4$ wechselt bei $4$ das Vorzeichen ($\to 0^-$ bzw. $\to 0^+$), der Zähler bleibt positiv:

$$\lim_{x \to 4^-} g(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to 4^+} g(x) = +\infty$$

→ Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

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Lösung 3

Faktorisieren:

$$f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{(x-1)(x+1)}{x\,(x-1)}$$

Nenner-Nullstellen: $x = 0$ und $x = 1$, also $D = \mathbb{R}\setminus\{0,\;1\}$.

Stelle $x = 1$: Zähler und Nenner werden beide null. Kürzen von $(x-1)$:

$$f(x) = \frac{x+1}{x} \qquad (x \neq 1,\; x \neq 0)$$

Nach dem Kürzen ist der Nenner bei $x = 1$ gleich $1 \neq 0$ → hebbare Lücke mit

$$\lim_{x \to 1} f(x) = \frac{1+1}{1} = 2$$

Stelle $x = 0$: Im gekürzten Term ist der Zähler $0 + 1 = 1 \neq 0$, der Nenner null → Polstelle.

Vorzeichen: Zähler $\to 1 > 0$, Nenner $x \to 0^\mp$ → $\lim_{x\to 0^-} f(x) = -\infty$, $\lim_{x\to 0^+} f(x) = +\infty$, also mit Vorzeichenwechsel.

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Lösung 4

1. Bei $x = 0$ liegt die Polstelle: die beiden Äste laufen dort ins Unendliche, der Graph nähert sich der senkrechten Geraden $x = 0$ an.

Bei $x = 1$ liegt die hebbare Lücke: der Graph läuft dort ganz normal weiter, es fehlt nur ein einzelner Punkt (offener Kreis). Nichts strebt gegen unendlich.

2. Ja. Links von $0$ fällt der Graph nach $-\infty$, rechts von $0$ kommt er von $+\infty$ — die Vorzeichen sind verschieden, also Vorzeichenwechsel.

3. Der Graph strebt bei $x = 1$ gegen den Wert $2$ (abzulesen an der Höhe des offenen Kreises). Man ergänzt

$$f(1) := 2$$

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Lösung 5

Beide faktorisieren:

$$f(x) = \frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^2}$$

Der Faktor $(x-2)$ kommt im Zähler einmal, im Nenner zweimal vor. Nach dem Kürzen bleibt einer im Nenner stehen:

$$f(x) = \frac{x+2}{x-2} \qquad (x \neq 2)$$

Jetzt gilt an der Stelle $x=2$: Zähler $= 4 \neq 0$, Nenner $= 0$.

→ Es liegt keine hebbare Lücke, sondern eine Polstelle vor.

Vorzeichentabelle:

	$x \to 2^-$	$x \to 2^+$
$x+2$	$4 > 0$	$4 > 0$
$x-2$	$\to 0^-$	$\to 0^+$
$f(x)$	$-\infty$	$+\infty$

Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

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Lösung 6

Nenner faktorisieren: $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$

$$D = \mathbb{R}\setminus\{-2,\;3\}$$

Zähler bei $x = -2$: $-3 \neq 0$; bei $x = 3$: $2 \neq 0$ → beides Polstellen.

Bei $x_0 = -2$:

	$x \to -2^-$	$x \to -2^+$
$x-1$	$-3 < 0$	$-3 < 0$
$x+2$	$\to 0^-$	$\to 0^+$
$x-3$	$-5 < 0$	$-5 < 0$
Nenner	$\to 0^+$	$\to 0^-$
$f(x)$	$-\infty$	$+\infty$

→ Vorzeichenwechsel ✓

Bei $x_0 = 3$:

	$x \to 3^-$	$x \to 3^+$
$x-1$	$2 > 0$	$2 > 0$
$x-3$	$\to 0^-$	$\to 0^+$
$x+2$	$5 > 0$	$5 > 0$
Nenner	$\to 0^-$	$\to 0^+$
$f(x)$	$-\infty$	$+\infty$

→ Vorzeichenwechsel ✓

An beiden Polstellen wechselt das Vorzeichen.

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Lösung 7

Nenner: $x - 10^{6} = 0 \Rightarrow x_0 = 10^{6}$, also $D = \mathbb{R}\setminus\{10^{6}\}$.

Der Zähler ist eine dritte binomische Formel:

$$x^2 - 10^{12} = x^2 - \left(10^{6}\right)^2 = \left(x - 10^{6}\right)\left(x + 10^{6}\right)$$

Auch der Zähler wird bei $x_0$ null → kürzen:

$$f(x) = \frac{\left(x-10^{6}\right)\left(x+10^{6}\right)}{x-10^{6}} = x + 10^{6} \qquad (x \neq 10^{6})$$

Der gekürzte Term ist ein Polynom, der Grenzwert existiert → hebbare Lücke mit

$$\lim_{x \to 10^{6}} f(x) = 10^{6} + 10^{6} = 2 \cdot 10^{6}$$

Dasselbe Kürzen wie in Aufgabe 3, nur mit unbequemen Zahlen.

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Lösung 8

Nenner: $x^2 = 0 \Rightarrow x_0 = 0$, also $D = \mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Zähler bei $x_0 = 0$: $0 + 10^{100} = 10^{100} \neq 0$ → Polstelle.

Vorzeichentabelle:

	$x \to 0^-$	$x \to 0^+$
$x + 10^{100}$	$\approx 10^{100} > 0$	$\approx 10^{100} > 0$
$x^2$	$\to 0^+$	$\to 0^+$
$f(x)$	$+\infty$	$+\infty$

Der Nenner ist als Quadrat beidseitig positiv → Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, genau wie bei $\frac{2}{x^2}$ in Aufgabe 2a.