Vollständige Kurvendiskussion gebrochen-rationaler Funktionen

Klasse 11

Grundidee

Die vollständige Analyse einer gebrochen-rationalen Funktion $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ läuft immer in derselben Reihenfolge ab:

Schritt	Was tun	Wie
1. Definitionsmenge	Nennernullstellen ausschließen	$q(x) = 0$ lösen
2. Hebbare Lücken	gemeinsame Faktoren kürzen	$p(x_0) = q(x_0) = 0$?
3. Symmetrie	$f(-x)$ bilden	gerade: $f(-x)=f(x)$; ungerade: $f(-x)=-f(x)$
4. Nullstellen	Zähler null setzen	$p(x)=0$, Ergebnis in $D$ prüfen
5. Polstellen	Verhalten links/rechts	Vorzeichentabelle
6. Grenzverhalten	Gradvergleich	waagrechte bzw. schräge Asymptote
7. $y$-Achsenabschnitt	$x = 0$ einsetzen	nur falls $0 \in D$

HinweisReihenfolge ist kein Zufall

Schritt 2 steht vor Schritt 4 und 5: Erst nach dem Kürzen weiß man sicher, welche Definitionslücken echte Polstellen sind und welche Zählernullstellen wirklich zählen.

Bei Symmetrie genügt es oft, nur die rechte Hälfte zu untersuchen — die linke ergibt sich durch Spiegelung bzw. Punktspiegelung.

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Aufgaben

Aufgabe 1

L

Führe eine vollständige Kurvendiskussion durch (alle 7 Schritte):

$$f(x) = \frac{x^2-9}{x^2-4}$$

Aufgabe 2

L

Führe eine vollständige Kurvendiskussion durch:

$$f(x) = \frac{x-1}{x+2}$$

Aufgabe 3

L

Lies aus dem Graphen alle Ergebnisse einer Kurvendiskussion ab: Definitionsmenge, Nullstellen, Polstellen, waagrechte Asymptote, Symmetrie und $y$-Achsenabschnitt.

Aufgabe 4

L

Führe eine vollständige Kurvendiskussion durch:

$$f(x) = \frac{4x}{x^2-1}$$

Vergleiche dein Ergebnis anschließend mit dem Graphen aus Aufgabe 3.

Aufgabe 5

L

Führe eine vollständige Kurvendiskussion durch. Achte besonders auf Schritt 2:

$$f(x) = \frac{x^2-x-6}{x^2-9}$$

Aufgabe 6

L

Führe eine vollständige Kurvendiskussion durch. Hier tritt statt einer waagrechten eine schräge Asymptote auf:

$$f(x) = \frac{x^2+2}{x}$$

Aufgabe 7

L

Führe eine vollständige Kurvendiskussion durch:

$$f(x) = \frac{10^{6}x^2 - 10^{6}}{x^2-4}$$

Aufgabe 8

L

Führe eine vollständige Kurvendiskussion durch:

$$f(x) = \frac{x^2 - 10^{-6}}{x^2 + 10^{-6}}$$

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Lösungen

Lösung 1

1. Definitionsmenge: $x^2-4 = (x-2)(x+2) = 0 \Rightarrow D = \mathbb{R}\setminus\{-2,\;2\}$

2. Hebbare Lücken: Zähler bei $x = \pm2$: $4 - 9 = -5 \neq 0$ → keine gemeinsamen Nullstellen, keine hebbaren Lücken.

3. Symmetrie:

$$f(-x) = \frac{(-x)^2-9}{(-x)^2-4} = \frac{x^2-9}{x^2-4} = f(x)$$

→ gerade, achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

4. Nullstellen: $x^2-9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3$. Beide liegen in $D$ ✓

Nullstellen: $x_1 = -3$, $x_2 = 3$

5. Polstellen: bei $x = \pm 2$. Vorzeichentabelle für $x_0 = 2$:

	$x \to 2^-$	$x \to 2^+$
$x^2-9$	$-5 < 0$	$-5 < 0$
$(x-2)(x+2)$	$\to 0^-$	$\to 0^+$
$f(x)$	$+\infty$	$-\infty$

→ Vorzeichenwechsel; wegen der Symmetrie verhält sich $x = -2$ spiegelbildlich.

6. Grenzverhalten: $m = n = 2$, führende Koeffizienten $1$ und $1$:

$$\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = 1 \quad\Rightarrow\quad \text{waagrechte Asymptote } y = 1$$

7. $y$-Achsenabschnitt: $f(0) = \dfrac{-9}{-4} = \dfrac{9}{4} = 2{,}25$

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Lösung 2

1. $x + 2 = 0 \Rightarrow D = \mathbb{R}\setminus\{-2\}$

2. Zähler bei $x=-2$: $-3 \neq 0$ → keine hebbare Lücke.

3. $f(-x) = \dfrac{-x-1}{-x+2}$. Das ist weder $f(x)$ noch $-f(x)$ → keine Symmetrie.

4. $x - 1 = 0 \Rightarrow x_0 = 1 \in D$ ✓ → Nullstelle bei $x=1$.

5. Polstelle bei $x = -2$:

	$x \to -2^-$	$x \to -2^+$
$x-1$	$-3 < 0$	$-3 < 0$
$x+2$	$\to 0^-$	$\to 0^+$
$f(x)$	$+\infty$	$-\infty$

→ mit Vorzeichenwechsel.

6. $m = n = 1$, führende Koeffizienten $1$ und $1$ → $y = 1$

7. $f(0) = \dfrac{-1}{2} = -0{,}5$

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Lösung 3

Aus dem Bild:

• Definitionsmenge: senkrechte Asymptoten bei $x=-1$ und $x=1$ → $D = \mathbb{R}\setminus\{-1,\;1\}$
• Nullstelle: der Graph schneidet die $x$-Achse bei $x = 0$
• Polstellen: $x = -1$ und $x = 1$, an beiden mit Vorzeichenwechsel (die Äste laufen links und rechts in verschiedene Richtungen)
• Waagrechte Asymptote: $y = 0$ — außen legt sich der Graph an die $x$-Achse
• Symmetrie: punktsymmetrisch zum Ursprung, also ungerade
• $y$-Achsenabschnitt: $f(0) = 0$ (identisch mit der Nullstelle)

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Lösung 4

1. $x^2-1 = (x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow D = \mathbb{R}\setminus\{-1,\;1\}$

2. Zähler bei $x = \pm 1$: $\pm 4 \neq 0$ → keine hebbaren Lücken.

3. $f(-x) = \dfrac{-4x}{x^2-1} = -f(x)$ → ungerade, punktsymmetrisch zum Ursprung.

4. $4x = 0 \Rightarrow x_0 = 0 \in D$ ✓ → einzige Nullstelle $x = 0$.

5. Polstellen bei $x = \pm1$. Für $x_0 = 1$:

	$x \to 1^-$	$x \to 1^+$
$4x$	$4 > 0$	$4 > 0$
$(x-1)(x+1)$	$\to 0^-$	$\to 0^+$
$f(x)$	$-\infty$	$+\infty$

→ Vorzeichenwechsel; bei $x=-1$ wegen Punktsymmetrie entsprechend umgekehrt.

6. $m = 1 < n = 2$ → $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = 0$, waagrechte Asymptote $y = 0$.

7. $f(0) = 0$

Alle sieben Ergebnisse stimmen mit dem abgelesenen Graphen aus Aufgabe 3 überein.

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Lösung 5

1. $x^2-9 = (x-3)(x+3) = 0 \Rightarrow D = \mathbb{R}\setminus\{-3,\;3\}$

2. Zähler faktorisieren: $x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$

Bei $x = 3$ werden Zähler und Nenner null → kürzen:

$$f(x) = \frac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x+2}{x+3} \qquad (x \neq 3)$$

→ hebbare Lücke bei $x = 3$ mit $\lim_{x\to3} f(x) = \dfrac{5}{6}$

3. $f(-x) = \dfrac{-x+2}{-x+3}$ → weder $f(x)$ noch $-f(x)$ → keine Symmetrie.

4. Gekürzter Zähler: $x+2 = 0 \Rightarrow x_0 = -2 \in D$ ✓ → Nullstelle bei $x = -2$.

(Die Stelle $x=3$ ist trotz $p(3)=0$ keine Nullstelle — dort ist $f$ nicht definiert.)

5. Nach dem Kürzen bleibt nur $x = -3$ als Polstelle:

	$x \to -3^-$	$x \to -3^+$
$x+2$	$-1 < 0$	$-1 < 0$
$x+3$	$\to 0^-$	$\to 0^+$
$f(x)$	$+\infty$	$-\infty$

→ mit Vorzeichenwechsel.

6. $m = n = 2$ (bzw. nach Kürzen $m=n=1$), führende Koeffizienten jeweils gleich → $y = 1$

7. $f(0) = \dfrac{-6}{-9} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67$

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Lösung 6

1. $x = 0 \Rightarrow D = \mathbb{R}\setminus\{0\}$

2. Zähler bei $x=0$: $2 \neq 0$ → keine hebbare Lücke.

3. $f(-x) = \dfrac{x^2+2}{-x} = -f(x)$ → ungerade.

4. $x^2 + 2 = 0$ hat keine reelle Lösung (denn $x^2+2 \geq 2 > 0$) → keine Nullstellen.

5. Polstelle bei $x = 0$:

	$x \to 0^-$	$x \to 0^+$
$x^2+2$	$\to 2 > 0$	$\to 2 > 0$
$x$	$\to 0^-$	$\to 0^+$
$f(x)$	$-\infty$	$+\infty$

→ mit Vorzeichenwechsel.

6. $m = 2 = n+1$ → schräge Asymptote. Zerlegen:

$$f(x) = \frac{x^2}{x} + \frac{2}{x} = x + \frac{2}{x} \quad\Longrightarrow\quad y = x$$

7. $0 \notin D$ → kein $y$-Achsenabschnitt.

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Lösung 7

1. $x^2-4 = 0 \Rightarrow D = \mathbb{R}\setminus\{-2,\;2\}$

2. Zähler ausklammern: $10^{6}x^2 - 10^{6} = 10^{6}\left(x^2-1\right) = 10^{6}(x-1)(x+1)$

Bei $x = \pm2$ ist der Zähler $10^{6}\cdot 3 \neq 0$ → keine hebbaren Lücken.

3. Nur gerade Potenzen in Zähler und Nenner:

$$f(-x) = \frac{10^{6}x^2-10^{6}}{x^2-4} = f(x) \quad\Rightarrow\quad \textbf{gerade}$$

4. $10^{6}(x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x = \pm 1$, beide in $D$ ✓

Nullstellen: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$

5. Polstellen bei $x = \pm 2$. Für $x_0 = 2$: Zähler $= 10^{6}\cdot 3 > 0$, Nenner wechselt von $0^-$ auf $0^+$:

$$\lim_{x\to2^-} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x\to2^+} f(x) = +\infty$$

→ mit Vorzeichenwechsel (bei $x=-2$ spiegelbildlich).

6. $m = n = 2$, führende Koeffizienten $10^{6}$ und $1$:

$$\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \frac{10^{6}}{1} = 10^{6} \quad\Rightarrow\quad y = 10^{6}$$

7. $f(0) = \dfrac{-10^{6}}{-4} = 250\,000$

Der Faktor $10^{6}$ ändert nur die Höhe der Asymptote — das Verfahren ist identisch zu Aufgabe 1.

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Lösung 8

1. $x^2 + 10^{-6} \geq 10^{-6} > 0$ für alle $x$ — der Nenner wird nie null:

$$D = \mathbb{R}$$

2. Keine Definitionslücken → keine hebbaren Lücken.

3. Nur gerade Potenzen → $f(-x) = f(x)$, also gerade.

4. $x^2 - 10^{-6} = 0 \Rightarrow x^2 = 10^{-6} \Rightarrow x = \pm 10^{-3}$

Nullstellen: $x_1 = -0{,}001$, $x_2 = 0{,}001$

5. Keine Polstellen, da $D = \mathbb{R}$ — der Graph ist überall stetig.

6. $m = n = 2$, führende Koeffizienten beide $1$:

$$\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = 1 \quad\Rightarrow\quad y = 1$$

7. $f(0) = \dfrac{-10^{-6}}{10^{-6}} = -1$

Die Funktion steigt also von $-1$ bei $x=0$ auf beiden Seiten gegen die Asymptote $y=1$ an — dieselben sieben Schritte wie zuvor, nur mit sehr kleinen statt sehr großen Zahlen.