Gebrochen-rationale Funktionen: Definitionsmenge und Nullstellen

Klasse 11

Grundidee

Eine gebrochen-rationale Funktion hat die Form

$$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$$

mit Polynomen $p$ und $q$. In Klasse 11 haben Zähler und Nenner höchstens Grad $2$.

Definitionsmenge. Durch null darf nicht geteilt werden — man schließt alle Nullstellen des Nenners aus:

$$D = \mathbb{R} \setminus \{x \mid q(x) = 0\}$$

Nullstellen. Ein Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null ist. Der Nenner muss dabei ungleich null bleiben:

$$f(x_0) = 0 \iff p(x_0) = 0 \;\textbf{ und }\; q(x_0) \neq 0$$

HinweisDer entscheidende zweite Schritt

Eine Nullstelle des Zählers ist nur dann eine Nullstelle von $f$, wenn sie in $D$ liegt. Fällt sie mit einer Definitionslücke zusammen, ist sie keine Nullstelle — dort ist $f$ überhaupt nicht definiert.

Vorgehen:

1. Nenner faktorisieren, $q(x) = 0$ lösen → Definitionslücken, damit $D$
2. Zähler faktorisieren, $p(x) = 0$ lösen → Kandidaten für Nullstellen
3. Jeden Kandidaten prüfen: liegt er in $D$?

f(x) = (x+1)/(x²−4): Definitionslücken bei x = −2 und x = 2 (gestrichelt), Nullstelle bei x = −1 (Punkt)

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Aufgaben

Aufgabe 1

L

Gegeben ist

$$f(x) = \frac{x+1}{x^2 - 4}$$

Bestimme die Definitionsmenge und alle Nullstellen.

Aufgabe 2

L

Bestimme jeweils Definitionsmenge und Nullstellen:

1. $f(x) = \dfrac{1}{x-3}$

2. $g(x) = \dfrac{x-1}{x^2+1}$

3. $h(x) = \dfrac{2x+6}{x^2-9}$

Aufgabe 3

L

Bestimme Definitionsmenge und Nullstellen von

$$f(x) = \frac{x-4}{x^2 - 5x + 6}$$

Aufgabe 4

L

Gegeben ist

$$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$$

1. Bestimme $D$.
2. Welche Nullstellen hat der Zähler?
3. Welche davon sind Nullstellen von $f$? Begründe.

Aufgabe 5

L

Gegeben ist $f_a(x) = \dfrac{x-a}{x^2-4}$ mit $a \in \mathbb{R}$.

1. Für welches $a$ hat $f_a$ eine Nullstelle bei $x = 3$?
2. Für welche $a$ besitzt $f_a$ gar keine Nullstelle?

Aufgabe 6

L

Bestimme Definitionsmenge und Nullstellen von

$$f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x^2 + 2x + 5}$$

Aufgabe 7

L

Bestimme Definitionsmenge und Nullstellen von

$$f(x) = \frac{x - 10^{6}}{x^2 - 10^{12}}$$

Aufgabe 8

L

Bestimme Definitionsmenge und Nullstellen von

$$f(x) = \frac{10^{100}\,x^2 - 10^{100}}{x^2 + 1}$$

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Lösungen

Lösung 1

Nenner: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2) = 0 \Rightarrow x = 2$ oder $x = -2$

$$D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\; 2\}$$

Zähler: $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

Probe: $-1 \in D$ ✓ und $q(-1) = 1 - 4 = -3 \neq 0$ ✓

Einzige Nullstelle: $x_0 = -1$

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Lösung 2

1. Nenner $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$, also $D = \mathbb{R}\setminus\{3\}$.

Der Zähler ist konstant $1$ und wird nie null → keine Nullstellen.

2. Nenner $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ für alle $x$ — der Nenner wird nie null:

$$D = \mathbb{R}$$

Zähler: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$. Nullstelle: $x_0 = 1$

3. Nenner $x^2 - 9 = (x-3)(x+3) = 0 \Rightarrow x = \pm 3$, also $D = \mathbb{R}\setminus\{-3,\;3\}$.

Zähler: $2x + 6 = 2(x+3) = 0 \Rightarrow x = -3$.

Aber $-3 \notin D$! Die Zählernullstelle fällt mit einer Definitionslücke zusammen.

→ $h$ hat keine Nullstelle.

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Lösung 3

Nenner mit Satz von Vieta oder Mitternachtsformel:

$$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ oder } x = 3$$

$$D = \mathbb{R}\setminus\{2,\;3\}$$

Zähler: $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

Probe: $4 \in D$ ✓, Nenner $16 - 20 + 6 = 2 \neq 0$ ✓

Nullstelle: $x_0 = 4$

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Lösung 4

1. Nenner $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$, also $D = \mathbb{R}\setminus\{1\}$.

2. $x^2 - 1 = (x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 1$ und $x = -1$.

3. Nur $x_0 = -1$ ist Nullstelle von $f$.

Die Stelle $x = 1$ ist zwar Nullstelle des Zählers, liegt aber nicht in $D$ — dort ist $f$ gar nicht definiert. (Kürzt man, so ergibt sich $f(x) = x+1$ für $x \neq 1$: der Graph ist die Gerade $y = x+1$ mit einer Lücke bei $x = 1$.)

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Lösung 5

1. Gefordert ist $p(3) = 0$, also $3 - a = 0$:

$$a = 3$$

Probe: $q(3) = 9 - 4 = 5 \neq 0$ ✓ — für $a = 3$ liegt tatsächlich eine Nullstelle bei $x = 3$.

2. Der Zähler $x - a$ hat immer genau die Nullstelle $x = a$. Sie ist genau dann keine Nullstelle von $f_a$, wenn sie mit einer Definitionslücke zusammenfällt:

$$a = 2 \quad\text{oder}\quad a = -2$$

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Lösung 6

Nenner: $x^2 + 2x + 5 = 0$. Diskriminante:

$$D_{\text{isk}} = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$$

Der Nenner hat keine reellen Nullstellen (er ist wegen $x^2+2x+5 = (x+1)^2 + 4 \geq 4$ stets positiv):

$$D = \mathbb{R}$$

Zähler: $x^2 - 3x = x(x-3) = 0 \Rightarrow x = 0$ oder $x = 3$

Beide liegen in $D = \mathbb{R}$ ✓

Nullstellen: $x_1 = 0$ und $x_2 = 3$

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Lösung 7

Nenner: $x^2 - 10^{12} = 0 \Rightarrow x^2 = 10^{12} \Rightarrow x = \pm 10^{6}$

$$D = \mathbb{R}\setminus\{-10^{6},\; 10^{6}\}$$

Zähler: $x - 10^{6} = 0 \Rightarrow x = 10^{6}$

Diese Stelle liegt nicht in $D$ — genau wie in Aufgabe 4 fällt die Zählernullstelle mit einer Definitionslücke zusammen.

→ $f$ hat keine Nullstelle.

(Gekürzt: $f(x) = \dfrac{x-10^6}{(x-10^6)(x+10^6)} = \dfrac{1}{x+10^6}$ für $x \neq 10^6$ — und dieser Bruch wird nie null.)

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Lösung 8

Nenner: $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ für alle $x$ — nie null:

$$D = \mathbb{R}$$

Zähler: ausklammern statt erschrecken:

$$10^{100}x^2 - 10^{100} = 10^{100}\left(x^2 - 1\right) = 10^{100}(x-1)(x+1) = 0$$

Da $10^{100} \neq 0$, folgt $x = 1$ oder $x = -1$. Beide liegen in $D$ ✓

Nullstellen: $x_1 = -1$ und $x_2 = 1$

Der riesige Faktor $10^{100}$ ändert am Verfahren nichts — er lässt sich ausklammern und wegteilen.