Waagrechte und schräge Asymptoten

Klasse 11

Grundidee

Für $x \to \pm\infty$ entscheidet allein der Gradvergleich von Zähler ($\deg p = m$) und Nenner ($\deg q = n$):

Fall	Grenzverhalten	Asymptote
$m < n$	$f(x) \to 0$	waagrecht: $y = 0$
$m = n$	$f(x) \to \dfrac{a_m}{b_n}$	waagrecht: $y = \dfrac{a_m}{b_n}$
$m = n+1$	$\lvert f(x)\rvert \to \infty$, linear	schräg: $y = ax+b$
$m > n+1$	$\lvert f(x)\rvert \to \infty$	keine Gerade als Asymptote

Dabei sind $a_m$ und $b_n$ die führenden Koeffizienten (die bei der höchsten Potenz), nicht etwa die konstanten Glieder.

Schräge Asymptote per Polynomdivision. Ist $m = n+1$, teilt man $p(x)$ durch $q(x)$:

$$f(x) = \underbrace{a x + b}_{\text{Asymptote}} \;+\; \underbrace{\frac{r(x)}{q(x)}}_{\to\; 0 \text{ für } x \to \pm\infty}$$

Der Restterm verschwindet im Unendlichen — übrig bleibt die Gerade $y = ax+b$.

Beispiel: $\dfrac{x^2-2x+3}{x-1} = x - 1 + \dfrac{2}{x-1}$, also schräge Asymptote $y = x-1$.

Links waagrechte Asymptote y = 2 (Grad gleich), rechts schräge Asymptote y = x − 1 (Zählergrad um 1 größer)

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Aufgaben

Aufgabe 1

L

Bestimme das Grenzverhalten für $x \to \pm\infty$ und gib die waagrechte Asymptote an:

$$f(x) = \frac{3x}{x^2+1}$$

Aufgabe 2

L

Bestimme jeweils die waagrechte Asymptote:

1. $f(x) = \dfrac{2x^2-1}{x^2+3}$

2. $g(x) = \dfrac{x+5}{x^2-4}$

3. $h(x) = \dfrac{4x^2+x}{2x^2-8}$

Aufgabe 3

L

Lies aus den beiden Graphen jeweils ab: alle senkrechten Asymptoten sowie die waagrechte bzw. schräge Asymptote. Gib außerdem an, in welchem Verhältnis Zähler- und Nennergrad stehen müssen.

Aufgabe 4

L

Gegeben ist

$$f(x) = \frac{x^2+1}{x}$$

1. Begründe mit dem Gradvergleich, dass eine schräge Asymptote existiert.
2. Bestimme sie durch Zerlegen des Bruchs.

Aufgabe 5

L

Bestimme die schräge Asymptote mittels Polynomdivision:

$$f(x) = \frac{x^2-2x+3}{x-1}$$

Aufgabe 6

L

Bestimme die schräge Asymptote sowie die senkrechte Asymptote von

$$f(x) = \frac{2x^2+3x-1}{x+2}$$

Aufgabe 7

L

Bestimme die waagrechte Asymptote von

$$f(x) = \frac{10^{100}\,x^2+1}{10^{99}\,x^2+5}$$

Aufgabe 8

L

Bestimme die schräge Asymptote von

$$f(x) = \frac{x^2+10^{50}}{x-10^{25}}$$

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Lösungen

Lösung 1

Zählergrad $m = 1$, Nennergrad $n = 2$, also $m < n$.

Rechnerisch (Kürzen durch die höchste Nennerpotenz $x^2$):

$$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x}{x^2+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\tfrac{3}{x}}{1 + \tfrac{1}{x^2}} = \frac{0}{1} = 0$$

Waagrechte Asymptote: $y = 0$ (die $x$-Achse).

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Lösung 2

1. $m = n = 2$, führende Koeffizienten $2$ und $1$:

$$\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \frac{2}{1} = 2 \quad\Rightarrow\quad y = 2$$

2. $m = 1 < n = 2$ → $y = 0$

3. $m = n = 2$, führende Koeffizienten $4$ und $2$:

$$\frac{4}{2} = 2 \quad\Rightarrow\quad y = 2$$

Achtung: Es zählen nur die Koeffizienten bei $x^2$ — die Terme $+x$ und $-8$ spielen für das Grenzverhalten keine Rolle.

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Lösung 3

Graph A: senkrechte Asymptoten bei $x = -1$ und $x = 1$; waagrechte Asymptote $y = 2$ (beide Äste außen nähern sich der Höhe $2$).

Weil eine waagrechte Asymptote mit Wert $\neq 0$ vorliegt, muss $m = n$ gelten — Zähler- und Nennergrad sind gleich, das Verhältnis der führenden Koeffizienten ist $2$.

(Es handelt sich um $f(x) = \frac{2x^2}{x^2-1}$.)

Graph B: senkrechte Asymptote bei $x = 0$; schräge Asymptote $y = x$ (die Äste legen sich außen an die Winkelhalbierende).

Eine schräge Asymptote bedeutet $m = n+1$ — der Zählergrad ist um genau $1$ größer als der Nennergrad.

(Es handelt sich um $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$.)

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Lösung 4

1. $m = 2$, $n = 1$, also $m = n+1$ → es existiert eine schräge Asymptote.

2. Der Bruch lässt sich gliedweise zerlegen:

$$f(x) = \frac{x^2+1}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$$

Für $x \to \pm\infty$ gilt $\frac{1}{x} \to 0$, also bleibt

$$y = x$$

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Lösung 5

Polynomdivision $\left(x^2-2x+3\right) : (x-1)$:

$$\begin{aligned} x^2 - 2x + 3 \;&:\; (x-1) \;=\; x - 1 \;\text{Rest}\; 2\\[2pt] -\;(x^2 - x)&\\[-2pt] \hline -x + 3&\\ -\;(-x + 1)&\\[-2pt] \hline 2& \end{aligned}$$

Also

$$f(x) = x - 1 + \frac{2}{x-1}$$

Da $\frac{2}{x-1} \to 0$ für $x \to \pm\infty$, ist die schräge Asymptote

$$y = x - 1$$

Probe: $(x-1)(x-1) + 2 = x^2 - 2x + 1 + 2 = x^2-2x+3$ ✓

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Lösung 6

Senkrechte Asymptote: Nenner $x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Zähler dort: $2\cdot4 - 6 - 1 = 1 \neq 0$ → Polstelle, senkrechte Asymptote $x = -2$.

Schräge Asymptote: $m = 2 = n+1$ ✓, Polynomdivision $\left(2x^2+3x-1\right):(x+2)$:

$$\begin{aligned} 2x^2 + 3x - 1 \;&:\; (x+2) \;=\; 2x - 1 \;\text{Rest}\; 1\\[2pt] -\;(2x^2 + 4x)&\\[-2pt] \hline -x - 1&\\ -\;(-x - 2)&\\[-2pt] \hline 1& \end{aligned}$$

$$f(x) = 2x - 1 + \frac{1}{x+2} \quad\Longrightarrow\quad y = 2x-1$$

Probe: $(2x-1)(x+2) + 1 = 2x^2+4x-x-2+1 = 2x^2+3x-1$ ✓

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Lösung 7

$m = n = 2$. Es zählt nur das Verhältnis der führenden Koeffizienten:

$$\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \frac{10^{100}}{10^{99}} = 10^{100-99} = 10$$

Waagrechte Asymptote: $y = 10$

Die Summanden $+1$ und $+5$ sind für $x \to \pm\infty$ bedeutungslos — dasselbe Vorgehen wie in Aufgabe 2a.

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Lösung 8

$m = 2$, $n = 1$, also $m = n+1$ → schräge Asymptote. Polynomdivision $\left(x^2+10^{50}\right):\left(x-10^{25}\right)$:

Erster Schritt: $x^2 : x = x$, und $x\left(x-10^{25}\right) = x^2 - 10^{25}x$. Rest: $10^{25}x + 10^{50}$.

Zweiter Schritt: $10^{25}x : x = 10^{25}$, und $10^{25}\left(x-10^{25}\right) = 10^{25}x - 10^{50}$. Rest: $2\cdot 10^{50}$.

$$f(x) = x + 10^{25} + \frac{2\cdot 10^{50}}{x - 10^{25}}$$

Schräge Asymptote:

$$y = x + 10^{25}$$

Probe: $\left(x+10^{25}\right)\left(x-10^{25}\right) + 2\cdot10^{50} = x^2 - 10^{50} + 2\cdot 10^{50} = x^2 + 10^{50}$ ✓