Transformationen von Funktionsgraphen

Klasse 11

Grundidee

Aus einer Grundfunktion $f$ entsteht durch Transformation die Funktion

$$g(x) = a \cdot f\bigl(b \cdot (x - c)\bigr) + d$$

Parameter	Wirkung	Merkhilfe
$d$	Verschiebung in $y$-Richtung ($d>0$: nach oben)	wirkt „wie erwartet”
$c$	Verschiebung in $x$-Richtung ($c>0$: nach rechts)	wirkt „umgekehrt”
$a$	Streckung in $y$-Richtung; $a<0$: Spiegelung an der $x$-Achse	$\lvert a\rvert>1$ steiler
$b$	Streckung in $x$-Richtung mit Faktor $\tfrac{1}{b}$; $b<0$: Spiegelung an der $y$-Achse	$\lvert b\rvert>1$ schmaler

Reihenfolge beim Ausführen: erst innen ($b$, dann $c$), danach außen ($a$, dann $d$).

Wichtig: In $f\bigl(b(x-c)\bigr)$ muss $b$ ausgeklammert sein. Aus $f(2x - 6)$ wird erst durch Umformen $f\bigl(2(x-3)\bigr)$ sichtbar, dass um $3$ (nicht um $6$) nach rechts verschoben wird.

Die vier Schritte von f(x) = x² zu g(x) = −2·f(x − 1) + 3

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Aufgaben

Aufgabe 1

L

Gegeben ist $f(x) = x^2$ und $g(x) = f(x - 3) + 2$.

1. Beschreibe in Worten, wie der Graph von $g$ aus dem von $f$ entsteht.
2. Gib $g(x)$ als ausmultiplizierten Term an.
3. Wo liegt der Scheitelpunkt von $g$?

Aufgabe 2

L

Beschreibe jeweils, wie der Graph von $g$ aus dem von $f$ hervorgeht:

1. $g(x) = f(x) + 4$
2. $g(x) = f(x + 2)$
3. $g(x) = -f(x)$
4. $g(x) = f(-x)$
5. $g(x) = 3 \cdot f(x)$
6. $g(x) = f(2x)$

Aufgabe 3

L

Der Graph von $f(x) = x^3$ wird nacheinander

1. um $1$ nach links verschoben,
2. in $y$-Richtung mit dem Faktor $2$ gestreckt,
3. an der $x$-Achse gespiegelt,
4. um $4$ nach unten verschoben.

Gib den Term der entstehenden Funktion $g$ an.

Aufgabe 4

L

Der abgebildete Graph von $g$ (rot) entsteht aus $f(x) = x^2$ (grau) durch Transformationen. Lies aus der Zeichnung ab, welche das sind, und gib $g(x)$ an.

Aufgabe 5

L

Gegeben ist $f(x) = \sin x$ und

$$g(x) = 2 \cdot f\!\left(3\left(x - \tfrac{\pi}{2}\right)\right) - 1$$

Beschreibe alle vier Transformationsschritte in der richtigen Reihenfolge und gib Wertemenge und Periode von $g$ an.

Aufgabe 6

L

Gegeben ist $f(x) = x^2$ und $g(x) = f(2x - 6)$.

1. Um wie viel wird in $x$-Richtung verschoben — um $6$ oder um $3$? Begründe durch Umformen.
2. Gib den Scheitelpunkt von $g$ an.
3. Bestimme entsprechend Scheitelpunkt und Streckfaktor von $h(x) = f(-3x + 12)$.

Aufgabe 7

L

Gegeben ist $f(x) = x^2$ und

$$g(x) = 0{,}001 \cdot f\bigl(1000\,(x - 2026)\bigr) + 10^{6}$$

Beschreibe die Transformationen, gib $g(x)$ vereinfacht an und bestimme den Scheitelpunkt.

Aufgabe 8

L

Gegeben ist $f(x) = \sin x$ und

$$g(x) = 500 \cdot f\!\left(\frac{1}{10^{4}}\bigl(x + 10^{7}\bigr)\right) - 500$$

Bestimme Amplitude, Periode, Verschiebung und Wertemenge von $g$.

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Lösungen

Lösung 1

1. Der Graph wird um $3$ nach rechts und um $2$ nach oben verschoben.

2. $g(x) = (x-3)^2 + 2 = x^2 - 6x + 9 + 2 = x^2 - 6x + 11$

3. Scheitelpunkt: $S(3 \mid 2)$

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Lösung 2

1. Verschiebung um $4$ nach oben
2. Verschiebung um $2$ nach links (das Vorzeichen wirkt umgekehrt)
3. Spiegelung an der $x$-Achse
4. Spiegelung an der $y$-Achse
5. Streckung in $y$-Richtung mit Faktor $3$ (Graph wird steiler)
6. Stauchung in $x$-Richtung mit Faktor $\tfrac{1}{2}$ (Graph wird schmaler)

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Lösung 3

Schritt für Schritt:

1. $f(x+1) = (x+1)^3$
2. $2(x+1)^3$
3. $-2(x+1)^3$
4. $-2(x+1)^3 - 4$

$$g(x) = -2(x+1)^3 - 4$$

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Lösung 4

Ablesbar aus dem Bild:

• Der Scheitel liegt bei $(-2 \mid 4)$ statt bei $(0 \mid 0)$ → Verschiebung um $2$ nach links und $4$ nach oben.
• Die Parabel ist nach unten geöffnet → Spiegelung an der $x$-Achse, also $a < 0$.
• Sie ist genauso weit wie die Normalparabel (von der Scheitelstelle aus $1$ nach rechts und $1$ nach unten) → $\lvert a \rvert = 1$.

$$g(x) = -(x+2)^2 + 4$$

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Lösung 5

Reihenfolge innen nach außen:

1. Stauchung in $x$-Richtung mit Faktor $\tfrac{1}{3}$ (wegen $b = 3$)
2. Verschiebung um $\tfrac{\pi}{2}$ nach rechts
3. Streckung in $y$-Richtung mit Faktor $2$
4. Verschiebung um $1$ nach unten

Periode: $T = \dfrac{2\pi}{3}$

Wertemenge: $\sin$ liefert $[-1,1]$, mal $2$ ergibt $[-2,2]$, minus $1$ ergibt

$$W = [-3,\; 1]$$

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Lösung 6

1. Erst $b$ ausklammern:

$$g(x) = f\bigl(2x - 6\bigr) = f\bigl(2(x - 3)\bigr)$$

Also Verschiebung um $3$ nach rechts (nicht um $6$), zusätzlich Stauchung mit Faktor $\tfrac{1}{2}$.

2. $g(x) = (2(x-3))^2 = 4(x-3)^2$, Scheitelpunkt $S(3 \mid 0)$.

3. $h(x) = f(-3x + 12) = f\bigl(-3(x - 4)\bigr) = 9(x-4)^2$

Scheitelpunkt $S(4 \mid 0)$, Stauchung in $x$-Richtung mit Faktor $\tfrac{1}{3}$, zusätzlich Spiegelung an der $y$-Achse (bei der Parabel wegen ihrer eigenen Symmetrie nicht sichtbar).

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Lösung 7

Transformationen: Stauchung in $x$-Richtung mit Faktor $\tfrac{1}{1000}$, Verschiebung um $2026$ nach rechts, Stauchung in $y$-Richtung mit Faktor $0{,}001$, Verschiebung um $10^6$ nach oben.

Vereinfachen:

$$g(x) = 0{,}001 \cdot 1000^2 \,(x - 2026)^2 + 10^6 = 1000\,(x-2026)^2 + 10^6$$

Scheitelpunkt: $S\bigl(2026 \mid 10^6\bigr)$

Genau dasselbe Vorgehen wie in Aufgabe 1 — nur die Zahlen sind unhandlich.

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Lösung 8

Ablesen der Parameter: $a = 500$, $b = 10^{-4}$, $c = -10^{7}$, $d = -500$.

• Amplitude: $\lvert a \rvert = 500$
• Periode: $T = \dfrac{2\pi}{b} = 2\pi \cdot 10^{4} \approx 62\,832$
• Verschiebung: $10^{7}$ nach links, $500$ nach unten
• Wertemenge: $[-500 - 500,\; 500 - 500] = [-1000,\; 0]$

Die Funktion schwingt also unterhalb der $x$-Achse und berührt sie an ihren Maxima.