Grenzverhalten und Grenzwerte

Klasse 11

Grundidee

Das Grenzverhalten beschreibt, wohin $f(x)$ läuft, wenn $x$ beliebig groß oder beliebig klein wird.

Bei ganzrationalen Funktionen entscheidet allein der Leitterm $a_n x^n$. Alle übrigen Summanden fallen für große $|x|$ nicht mehr ins Gewicht — egal wie groß ihre Koeffizienten sind.

Grad $n$	$a_n > 0$	$a_n < 0$
gerade	$+\infty$ für $x \to \pm\infty$	$-\infty$ für $x \to \pm\infty$
ungerade	$-\infty$ (links), $+\infty$ (rechts)	$+\infty$ (links), $-\infty$ (rechts)

Grenzwert an einer Stelle: Werden bei $x_0$ Zähler und Nenner null, so faktorisiert man beide und kürzt den gemeinsamen Faktor. Danach darf eingesetzt werden.

$$\lim_{x \to x_0} \frac{p(x)}{q(x)} \quad \text{mit } p(x_0) = q(x_0) = 0 \;\longrightarrow\; \text{faktorisieren, kürzen, einsetzen}$$

f(x) = x³ − 100x und der Leitterm x³. Nahe am Ursprung (links) sehen sie völlig verschieden aus — weit draußen (rechts) sind sie ununterscheidbar.

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Aufgaben

Aufgabe 1

L

Bestimme $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ und $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ für

$$f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7$$

Aufgabe 2

L

Bestimme jeweils das Grenzverhalten für $x \to +\infty$ und $x \to -\infty$:

1. $f(x) = -3x^4 + 2x^2$
2. $g(x) = x^5 - 1000x^2$
3. $h(x) = -x^7 + x^6$
4. $k(x) = 4x^6 - x^9$

Aufgabe 3

L

Gib für $x \to +\infty$ an, ob die Funktion konvergiert (und wogegen) oder divergiert:

1. $f(x) = 3^x$
2. $g(x) = \left(\tfrac{1}{3}\right)^x$
3. $h(x) = \ln x$
4. $k(x) = \cos x$

Aufgabe 4

L

Berechne den Grenzwert:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$$

Aufgabe 5

L

Berechne:

1. $\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 3x + 2}{x + 1}$
2. $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$

Hinweis zu b): $x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$.

Aufgabe 6

L

Gegeben ist $f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}$.

1. Für welche $x$ ist $f$ nicht definiert?
2. Berechne $\lim_{x \to 2} f(x)$.
3. Was passiert für $x \to -2$? Begründe, warum hier kein endlicher Grenzwert existiert.

Aufgabe 7

L

Bestimme das Grenzverhalten für $x \to \pm\infty$:

$$f(x) = -10^{-6}\,x^7 + 10^{9}\,x^6 - 10^{12}$$

Aufgabe 8

L

Berechne:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^{100} - 1}{x - 1}$$

Hinweis: $x^{n} - 1 = (x-1)\left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right)$.

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Lösungen

Lösung 1

Leitterm: $2x^3$, Grad $3$ (ungerade), $a_n = 2 > 0$:

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$$

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Lösung 2

Es zählt jeweils nur der Leitterm:

1. $-3x^4$: Grad gerade, Koeffizient negativ → $-\infty$ für $x \to \pm\infty$
2. $x^5$: Grad ungerade, positiv → $+\infty$ (rechts), $-\infty$ (links)
3. $-x^7$: Grad ungerade, negativ → $-\infty$ (rechts), $+\infty$ (links)
4. Leitterm ist $-x^9$ (nicht $4x^6$!): Grad ungerade, negativ → $-\infty$ (rechts), $+\infty$ (links)

Bei d) muss man erst nach dem höchsten Exponenten sortieren.

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Lösung 3

1. $3^x \to +\infty$: divergiert
2. $\left(\tfrac{1}{3}\right)^x \to 0$: konvergiert gegen $0$
3. $\ln x \to +\infty$: divergiert
4. $\cos x$ schwankt dauerhaft zwischen $-1$ und $1$: Grenzwert existiert nicht

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Lösung 4

Einsetzen liefert $\frac{0}{0}$ — also faktorisieren:

$$\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3 \qquad (x \neq 3)$$

$$\lim_{x \to 3} (x+3) = 6$$

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Lösung 5

1. $x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$:

$$\frac{(x+1)(x+2)}{x+1} = x + 2 \;\longrightarrow\; -1 + 2 = 1$$

2. $\dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} = x^2 + 2x + 4 \;\longrightarrow\; 4 + 4 + 4 = 12$

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Lösung 6

1. Nenner null: $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ und $x = -2$. Also $D = \mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}$.

2. Bei $x = 2$ wird auch der Zähler null ($4 - 10 + 6 = 0$), also kürzen:

$$\frac{x^2-5x+6}{x^2-4} = \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-3}{x+2} \qquad (x \neq 2)$$

$$\lim_{x \to 2} \frac{x-3}{x+2} = \frac{-1}{4} = -0{,}25$$

3. Bei $x = -2$ wird nur der Nenner null, der Zähler ist $4 + 10 + 6 = 20 \neq 0$. Ein Bruch mit festem Zähler und Nenner gegen $0$ wächst betragsmäßig unbeschränkt — es liegt eine Polstelle vor, kein endlicher Grenzwert.

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Lösung 7

Der Leitterm ist $-10^{-6}x^7$ — der Grad entscheidet, nicht die Größe des Koeffizienten. Grad $7$ (ungerade), Koeffizient negativ:

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$$

Der Term $10^9 x^6$ ist für kleine $|x|$ erdrückend groß, aber ab $|x| > 10^{15}$ hat $x^7$ die Oberhand. Das Verfahren ist identisch zu Aufgabe 1.

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Lösung 8

Mit der angegebenen Zerlegung:

$$\frac{x^{100}-1}{x-1} = \frac{(x-1)\left(x^{99} + x^{98} + \cdots + x + 1\right)}{x-1} = x^{99} + x^{98} + \cdots + x + 1$$

Für $x \to 1$ wird jeder der $100$ Summanden zu $1$:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^{100}-1}{x-1} = 100$$

Dasselbe Kürzen wie in Aufgabe 4 — nur mit $100$ statt $2$ Summanden.