Grenzverhalten und Grenzwerte

Klasse 11

Veröffentlichungsdatum

19. August 2026

Aufgaben

Aufgabe 1

L

Bestimme lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x) und lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x) für

f(x)=2x3−5x2+7f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7

Aufgabe 2

L

Bestimme jeweils das Grenzverhalten für x→+∞x \to +\infty und x→−∞x \to -\infty:

  1. f(x)=−3x4+2x2f(x) = -3x^4 + 2x^2
  2. g(x)=x5−1000x2g(x) = x^5 - 1000x^2
  3. h(x)=−x7+x6h(x) = -x^7 + x^6
  4. k(x)=4x6−x9k(x) = 4x^6 - x^9

Aufgabe 3

L

Gib für x→+∞x \to +\infty an, ob die Funktion konvergiert (und wogegen) oder divergiert:

  1. f(x)=3xf(x) = 3^x
  2. g(x)=(13)xg(x) = \left(\tfrac{1}{3}\right)^x
  3. h(x)=ln⁡xh(x) = \ln x
  4. k(x)=cos⁡xk(x) = \cos x

Aufgabe 4

L

Berechne den Grenzwert:

limx→3x2−9x−3\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}

Aufgabe 5

L

Berechne:

  1. lim⁡x→−1x2+3x+2x+1\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 3x + 2}{x + 1}
  2. lim⁡x→2x3−8x−2\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}

Hinweis zu b): x3−8=(x−2)(x2+2x+4)x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).

Aufgabe 6

L

Gegeben ist f(x)=x2−5x+6x2−4f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}.

  1. Für welche xx ist ff nicht definiert?
  2. Berechne lim⁡x→2f(x)\lim_{x \to 2} f(x).
  3. Was passiert für x→−2x \to -2? Begründe, warum hier kein endlicher Grenzwert existiert.

Aufgabe 7

L

Die beiden Ausschnitte zeigen f(x)=x3−100xf(x) = x^3 - 100x und den Leitterm x3x^3 — links für |x|≤12\lvert x\rvert \leq 12, rechts für |x|≤200\lvert x\rvert \leq 200.

f(x) = x³ − 100x und der Leitterm x³ in zwei Ausschnitten
  1. Bestimme die Nullstellen von ff und erkläre damit den Verlauf im linken Ausschnitt.
  2. Warum sind die beiden Kurven im rechten Ausschnitt kaum noch zu unterscheiden?
  3. Gib lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x\to+\infty} f(x) und lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x\to-\infty} f(x) an.

Aufgabe 8

L

Bestimme das Grenzverhalten für x→±∞x \to \pm\infty:

f(x)=−10−6x7+109x6−1012f(x) = -10^{-6}\,x^7 + 10^{9}\,x^6 - 10^{12}

Aufgabe 9

L

Berechne:

limx→1x100−1x−1\lim_{x \to 1} \frac{x^{100} - 1}{x - 1}

Hinweis: xn−1=(x−1)(xn−1+xn−2+⋯+x+1)x^{n} - 1 = (x-1)\left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right).

Lösungen

Lösung 1

Leitterm: 2x32x^3, Grad 33 (ungerade), an=2>0a_n = 2 > 0:

limx→+∞f(x)=+∞,limx→−∞f(x)=−∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty

Lösung 2

Es zählt jeweils nur der Leitterm:

  1. −3x4-3x^4: Grad gerade, Koeffizient negativ → −∞-\infty für x→±∞x \to \pm\infty
  2. x5x^5: Grad ungerade, positiv → +∞+\infty (rechts), −∞-\infty (links)
  3. −x7-x^7: Grad ungerade, negativ → −∞-\infty (rechts), +∞+\infty (links)
  4. Leitterm ist −x9-x^9 (nicht 4x64x^6!): Grad ungerade, negativ → −∞-\infty (rechts), +∞+\infty (links)

Bei d) muss man erst nach dem höchsten Exponenten sortieren.

Lösung 3

  1. 3x→+∞3^x \to +\infty: divergiert
  2. (13)x→0\left(\tfrac{1}{3}\right)^x \to 0: konvergiert gegen 00
  3. ln⁡x→+∞\ln x \to +\infty: divergiert
  4. cos⁡x\cos x schwankt dauerhaft zwischen −1-1 und 11: Grenzwert existiert nicht

Lösung 4

Einsetzen liefert 00\frac{0}{0} — also faktorisieren:

x2−9x−3=(x−3)(x+3)x−3=x+3(x≠3)\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3 \qquad (x \neq 3)

limx→3(x+3)=6\lim_{x \to 3} (x+3) = 6

Lösung 5

  1. x2+3x+2=(x+1)(x+2)x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2):

(x+1)(x+2)x+1=x+2→−1+2=1\frac{(x+1)(x+2)}{x+1} = x + 2 \;\longrightarrow\; -1 + 2 = 1

  1. (x−2)(x2+2x+4)x−2=x2+2x+4→4+4+4=12\dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} = x^2 + 2x + 4 \;\longrightarrow\; 4 + 4 + 4 = 12

Lösung 6

  1. Nenner null: x2−4=0⇒x=2x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 und x=−2x = -2. Also D=ℝ\{−2,2}D = \mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}.

  2. Bei x=2x = 2 wird auch der Zähler null (4−10+6=04 - 10 + 6 = 0), also kürzen:

x2−5x+6x2−4=(x−2)(x−3)(x−2)(x+2)=x−3x+2(x≠2)\frac{x^2-5x+6}{x^2-4} = \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-3}{x+2} \qquad (x \neq 2)

limx→2x−3x+2=−14=−0,25\lim_{x \to 2} \frac{x-3}{x+2} = \frac{-1}{4} = -0{,}25

  1. Bei x=−2x = -2 wird nur der Nenner null, der Zähler ist 4+10+6=20≠04 + 10 + 6 = 20 \neq 0. Ein Bruch mit festem Zähler und Nenner gegen 00 wächst betragsmäßig unbeschränkt — es liegt eine Polstelle vor, kein endlicher Grenzwert.

Lösung 7

  1. f(x)=x3−100x=x(x2−100)=0⇒x=0,x=10,x=−10f(x) = x^3 - 100x = x\left(x^2 - 100\right) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0,\; x = 10,\; x = -10

Zwischen −10-10 und 1010 ist der Term −100x-100x betragsmäßig größer als x3x^3 und drückt die Kurve auf die andere Seite der Achse — daher die beiden Ausbuchtungen im linken Bild, die x3x^3 allein nicht hat.

  1. Man vergleicht die Abweichung mit dem Funktionswert:

100xx3=100x2→x→±∞0\frac{100x}{x^3} = \frac{100}{x^2} \;\xrightarrow{\;x \to \pm\infty\;}\; 0

Bei x=200x = 200 beträgt der Unterschied nur noch etwa 0,25%0{,}25\,\% des Funktionswerts und ist im Bild nicht mehr auflösbar.

  1. Es entscheidet der Leitterm x3x^3 — Grad ungerade, Koeffizient positiv:

limx→+∞f(x)=+∞,limx→−∞f(x)=−∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty

Lösung 8

Der Leitterm ist −10−6x7-10^{-6}x^7 — der Grad entscheidet, nicht die Größe des Koeffizienten. Grad 77 (ungerade), Koeffizient negativ:

limx→+∞f(x)=−∞,limx→−∞f(x)=+∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty

Der Term 109x610^9 x^6 ist für kleine |x||x| erdrückend groß, aber ab |x|>1015|x| > 10^{15} hat x7x^7 die Oberhand. Das Verfahren ist identisch zu Aufgabe 1.

Lösung 9

Mit der angegebenen Zerlegung:

x100−1x−1=(x−1)(x99+x98+⋯+x+1)x−1=x99+x98+⋯+x+1\frac{x^{100}-1}{x-1} = \frac{(x-1)\left(x^{99} + x^{98} + \cdots + x + 1\right)}{x-1} = x^{99} + x^{98} + \cdots + x + 1

Für x→1x \to 1 wird jeder der 100100 Summanden zu 11:

limx→1x100−1x−1=100\lim_{x \to 1} \frac{x^{100}-1}{x-1} = 100

Dasselbe Kürzen wie in Aufgabe 4 — nur mit 100100 statt 22 Summanden.