Bedingte Wahrscheinlichkeit erkennen

Klasse 11

Grundidee

Manchmal interessiert nicht die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses insgesamt, sondern unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist.

Woran erkennt man bedingte Wahrscheinlichkeit im Text?

Die entscheidende Frage ist: Wird die Grundgesamtheit eingeschränkt? Steht im Aufgabentext eine der folgenden Formulierungen, handelt es sich um bedingte Wahrscheinlichkeit:

• „Von den Personen, die … ” → nur diese Teilgruppe zählt
• „Unter den …-Fans …“, „Unter allen …” → Grundgesamtheit ist bereits gefiltert
• „Wie wahrscheinlich ist …, wenn bekannt ist, dass …”
• „Mit welcher Wahrscheinlichkeit … , gegeben dass …”
• „Jemand aus der Gruppe der … wird zufällig ausgewählt …”

Kein Anhaltspunkt für bedingte Wahrscheinlichkeit liegt vor, wenn die Frage sich auf alle Personen/Fälle bezieht — also die Grundgesamtheit ungefiltert bleibt. Ebenso liegt keine Bedingung vor, wenn zwei Zufallsexperimente schlicht nacheinander durchgeführt werden (Münze zweimal werfen, Würfel zweimal rollen): hier sind die Ergebnisse voneinander unabhängig, es gibt keine Einschränkung der Grundgesamtheit.

Zwei Merkmale, je zwei Ausprägungen → Vierfeldertafel

Liegen zwei Merkmale $A/\bar{A}$ und $B/\bar{B}$ vor, trägt man die absoluten Häufigkeiten in eine Vierfeldertafel ein:

	$B$	$\bar{B}$	$\Sigma$
$A$	$n(A \cap B)$	$n(A \cap \bar{B})$	$n(A)$
$\bar{A}$	$n(\bar{A} \cap B)$	$n(\bar{A} \cap \bar{B})$	$n(\bar{A})$
$\Sigma$	$n(B)$	$n(\bar{B})$	$n$

Die bedingte Wahrscheinlichkeit liest man direkt ab. $P_B(A)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$:

$$P_B(A) \;=\; \frac{n(A \cap B)}{n(B)} \;=\; \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Abgrenzung: verknüpfte Zufallsexperimente

Bei zwei unabhängig wiederholten Zufallsexperimenten (z.B. zweimal eine Münze werfen) gibt es keine Bedingung — man multipliziert einfach die Einzelwahrscheinlichkeiten. Hier ist $P_B(A) = P(A)$ von vornherein gegeben; eine Vierfeldertafel ist nicht nötig.

Stochastische Unabhängigkeit

$A$ und $B$ heißen stochastisch unabhängig, wenn

$$P_B(A) = P(A)$$

Äquivalent dazu: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Das Eintreten von $B$ liefert dann keine Information über $A$.

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Aufgaben

Aufgabe 1

L

In einer Schulklasse von 30 Schülern mögen 20 Mathematik, 10 nicht. Von den Mathe-Fans haben 15 die letzte Prüfung bestanden, 5 nicht. Von den Nicht-Fans haben 4 bestanden, 6 nicht.

1. Erstelle die Vierfeldertafel.
2. Bestimme $P_{\text{Mathe-Fan}}(\text{bestanden})$.
3. Prüfe stochastische Unabhängigkeit.

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Aufgabe 2

L

Eine Umfrage unter 200 Personen ergibt:

	Sport	kein Sport	$\Sigma$
gesund	95	35	130
krank	30	40	70
$\Sigma$	125	75	200

1. Bestimme $P_{\text{Sport}}(\text{gesund})$ und $P_{\text{kein Sport}}(\text{gesund})$.
2. Bestimme $P(\text{gesund})$.
3. Sind „gesund” und „Sport treiben” stochastisch unabhängig?

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Aufgabe 3

L

In einer Fabrik produzieren Maschine $M_1$ und Maschine $M_2$ zusammen 500 Teile pro Tag. $M_1$ produziert 300 Teile, davon 12 defekt. $M_2$ produziert 200 Teile, davon 6 defekt.

1. Erstelle die Vierfeldertafel für die Merkmale Maschine und Qualität (defekt / einwandfrei).
2. Bestimme $P_{M_1}(\text{defekt})$ und $P_{M_2}(\text{defekt})$.
3. Welche Maschine produziert verhältnismäßig mehr Ausschuss?
4. Sind Maschine und Qualität stochastisch unabhängig? Begründe.

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Aufgabe 4

L

Eine Studie untersucht den Zusammenhang zwischen Kaffeekonsum und Schlafstörungen. Von 480 befragten Personen:

• 270 trinken täglich Kaffee, davon 162 mit Schlafstörungen.
• 210 trinken keinen Kaffee, davon 42 mit Schlafstörungen.

1. Erstelle die Vierfeldertafel.
2. Berechne $P_{\text{Kaffee}}(\text{Schlafstörung})$ und $P_{\text{kein Kaffee}}(\text{Schlafstörung})$.
3. Überprüfe stochastische Unabhängigkeit über $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
4. Was lässt sich inhaltlich schlussfolgern? (Vorsicht: Korrelation $\neq$ Kausalität.)

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Aufgabe 5 — Rückwärts aus der Bedingung

L

Gegeben: $P(B) = 0{,}4$, $P_B(A) = 0{,}75$, $P(A) = 0{,}5$.

1. Berechne $P(A \cap B)$.
2. Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel für $n = 1000$ Personen.
3. Sind $A$ und $B$ stochastisch unabhängig?

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Aufgabe 6

L

Eine App hat $1\,000\,000$ Nutzer. 60 % nutzen iOS, der Rest Android. Von den iOS-Nutzern kaufen $\frac{1}{3}$ ein In-App-Produkt; von den Android-Nutzern $\frac{1}{4}$.

1. Erstelle die Vierfeldertafel (absolute Häufigkeiten).
2. Berechne $P_{\text{iOS}}(\text{Kauf})$ und $P(\text{Kauf})$.
3. Sind Betriebssystem und Kaufverhalten stochastisch unabhängig?

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Aufgabe 7

L

Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ gilt lediglich: $P(A) = \dfrac{1}{3}$, $P(B) = \dfrac{1}{4}$, $P(A \cap B) = \dfrac{1}{12}$. Die Gesamtanzahl $n$ der Fälle ist unbekannt.

1. Sind $A$ und $B$ stochastisch unabhängig? (Ohne $n$ zu kennen!)
2. Berechne $P_B(A)$ und $P_A(B)$.
3. Was fällt beim Vergleich von $P_B(A)$ mit $P(A)$ auf?

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Lösungen

Lösung 1

	bestanden	nicht bestanden	$\Sigma$
Mathe-Fan	15	5	20
kein Mathe-Fan	4	6	10
$\Sigma$	19	11	30

2. $P_{\text{Mathe-Fan}}(\text{bestanden}) = \dfrac{15}{20} = 0{,}75$

3. $P(\text{bestanden}) = \dfrac{19}{30} \approx 0{,}633$

Da $0{,}75 \neq 0{,}633$: nicht stochastisch unabhängig — Mathe-Fans bestehen häufiger.

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Lösung 2

1. $P_{\text{Sport}}(\text{gesund}) = \dfrac{95}{125} = 0{,}76$

$\quad P_{\text{kein Sport}}(\text{gesund}) = \dfrac{35}{75} \approx 0{,}467$

2. $P(\text{gesund}) = \dfrac{130}{200} = 0{,}65$

3. $P(\text{gesund}) \cdot P(\text{Sport}) = 0{,}65 \cdot \dfrac{125}{200} = 0{,}65 \cdot 0{,}625 = 0{,}40625$

$P(\text{gesund} \cap \text{Sport}) = \dfrac{95}{200} = 0{,}475 \neq 0{,}40625$

Nicht unabhängig. Sportliche Personen sind in dieser Stichprobe häufiger gesund.

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Lösung 3

	defekt	einwandfrei	$\Sigma$
$M_1$	12	288	300
$M_2$	6	194	200
$\Sigma$	18	482	500

2. $P_{M_1}(\text{defekt}) = \dfrac{12}{300} = 0{,}04$

$\quad P_{M_2}(\text{defekt}) = \dfrac{6}{200} = 0{,}03$

3. $M_1$ hat die höhere Defektquote (4 % vs. 3 %).

4. $P(\text{defekt}) = \dfrac{18}{500} = 0{,}036$

$P(\text{defekt}) \cdot P(M_1) = 0{,}036 \cdot 0{,}6 = 0{,}0216$

$P(\text{defekt} \cap M_1) = \dfrac{12}{500} = 0{,}024 \neq 0{,}0216$ → nicht unabhängig.

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Lösung 4

	Schlafstörung	keine	$\Sigma$
Kaffee	162	108	270
kein Kaffee	42	168	210
$\Sigma$	204	276	480

2. $P_{\text{Kaffee}}(\text{Schlafst.}) = \dfrac{162}{270} = 0{,}6$

$\quad P_{\text{kein Kaffee}}(\text{Schlafst.}) = \dfrac{42}{210} = 0{,}2$

3. $P(\text{Schlafst.}) = \dfrac{204}{480} = 0{,}425$

$P(\text{Schlafst.}) \cdot P(\text{Kaffee}) = 0{,}425 \cdot 0{,}5625 \approx 0{,}239$

$P(\text{Schlafst.} \cap \text{Kaffee}) = \dfrac{162}{480} = 0{,}3375 \neq 0{,}239$ → nicht unabhängig.

4. Kaffeekonsum und Schlafstörungen korrelieren in dieser Stichprobe — das beweist aber noch keine Kausalität.

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Lösung 5

1. $P(A \cap B) = P_B(A) \cdot P(B) = 0{,}75 \cdot 0{,}4 = 0{,}3$

2. Für $n = 1000$:

	$B$	$\bar{B}$	$\Sigma$
$A$	300	200	500
$\bar{A}$	100	400	500
$\Sigma$	400	600	1000

3. $P(A) \cdot P(B) = 0{,}5 \cdot 0{,}4 = 0{,}2 \neq 0{,}3 = P(A \cap B)$ → nicht unabhängig.

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Lösung 6

$n(\text{iOS}) = 600\,000$, $n(\text{Android}) = 400\,000$

$n(\text{Kauf} \cap \text{iOS}) = \tfrac{1}{3} \cdot 600\,000 = 200\,000$

$n(\text{Kauf} \cap \text{Android}) = \tfrac{1}{4} \cdot 400\,000 = 100\,000$

	Kauf	kein Kauf	$\Sigma$
iOS	200 000	400 000	600 000
Android	100 000	300 000	400 000
$\Sigma$	300 000	700 000	1 000 000

2. $P_{\text{iOS}}(\text{Kauf}) = \dfrac{200\,000}{600\,000} = \dfrac{1}{3}$

$\quad P(\text{Kauf}) = \dfrac{300\,000}{1\,000\,000} = 0{,}3$

3. $P(\text{Kauf}) \cdot P(\text{iOS}) = 0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}18$

$P(\text{Kauf} \cap \text{iOS}) = 0{,}2 \neq 0{,}18$ → nicht unabhängig.

iOS-Nutzer kaufen häufiger, auch wenn der Unterschied klein wirkt.

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Lösung 7

1. $P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12} = P(A \cap B)$ ✓

Stochastisch unabhängig — ohne $n$ zu kennen.

2. $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{1/12}{1/4} = \dfrac{1}{3}$

$\quad P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{1/12}{1/3} = \dfrac{1}{4}$

3. $P_B(A) = \dfrac{1}{3} = P(A)$ — das Eintreten von $B$ ändert die Wahrscheinlichkeit von $A$ nicht. Das ist genau die Definition stochastischer Unabhängigkeit.