Bedingte Wahrscheinlichkeit erkennen

Klasse 11

Aufgaben

Aufgabe 1

L

In einer Schulklasse von 30 Schülern mögen 20 Mathematik, 10 nicht. Von den Mathe-Fans haben 15 die letzte Prüfung bestanden, 5 nicht. Von den Nicht-Fans haben 4 bestanden, 6 nicht.

1. Erstelle die Vierfeldertafel.
2. Bestimme $P_{\text{Mathe-Fan}}(\text{bestanden})$.
3. Prüfe stochastische Unabhängigkeit.

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Aufgabe 2

L

Eine Umfrage unter 200 Personen ergibt:

	Sport	kein Sport	$\Sigma$
gesund	95	35	130
krank	30	40	70
$\Sigma$	125	75	200

1. Bestimme $P_{\text{Sport}}(\text{gesund})$ und $P_{\text{kein Sport}}(\text{gesund})$.
2. Bestimme $P(\text{gesund})$.
3. Sind „gesund” und „Sport treiben” stochastisch unabhängig?

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Aufgabe 3

L

In einer Fabrik produzieren Maschine $M_1$ und Maschine $M_2$ zusammen 500 Teile pro Tag. $M_1$ produziert 300 Teile, davon 12 defekt. $M_2$ produziert 200 Teile, davon 6 defekt.

1. Erstelle die Vierfeldertafel für die Merkmale Maschine und Qualität (defekt / einwandfrei).
2. Bestimme $P_{M_1}(\text{defekt})$ und $P_{M_2}(\text{defekt})$.
3. Welche Maschine produziert verhältnismäßig mehr Ausschuss?
4. Sind Maschine und Qualität stochastisch unabhängig? Begründe.

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Aufgabe 4

L

Eine Studie untersucht den Zusammenhang zwischen Kaffeekonsum und Schlafstörungen. Von 480 befragten Personen:

• 270 trinken täglich Kaffee, davon 162 mit Schlafstörungen.
• 210 trinken keinen Kaffee, davon 42 mit Schlafstörungen.

1. Erstelle die Vierfeldertafel.
2. Berechne $P_{\text{Kaffee}}(\text{Schlafstörung})$ und $P_{\text{kein Kaffee}}(\text{Schlafstörung})$.
3. Überprüfe stochastische Unabhängigkeit über $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
4. Was lässt sich inhaltlich schlussfolgern? (Vorsicht: Korrelation $\neq$ Kausalität.)

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Aufgabe 5 — Rückwärts aus der Bedingung

L

Gegeben: $P(B) = 0{,}4$, $P_B(A) = 0{,}75$, $P(A) = 0{,}5$.

1. Berechne $P(A \cap B)$.
2. Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel für $n = 1000$ Personen.
3. Sind $A$ und $B$ stochastisch unabhängig?

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Aufgabe 6

L

Eine App hat $1\,000\,000$ Nutzer. 60 % nutzen iOS, der Rest Android. Von den iOS-Nutzern kaufen $\frac{1}{3}$ ein In-App-Produkt; von den Android-Nutzern $\frac{1}{4}$.

1. Erstelle die Vierfeldertafel (absolute Häufigkeiten).
2. Berechne $P_{\text{iOS}}(\text{Kauf})$ und $P(\text{Kauf})$.
3. Sind Betriebssystem und Kaufverhalten stochastisch unabhängig?

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Aufgabe 7

L

Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ gilt lediglich: $P(A) = \dfrac{1}{3}$, $P(B) = \dfrac{1}{4}$, $P(A \cap B) = \dfrac{1}{12}$. Die Gesamtanzahl $n$ der Fälle ist unbekannt.

1. Sind $A$ und $B$ stochastisch unabhängig? (Ohne $n$ zu kennen!)
2. Berechne $P_B(A)$ und $P_A(B)$.
3. Was fällt beim Vergleich von $P_B(A)$ mit $P(A)$ auf?

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Lösungen

Lösung 1

	bestanden	nicht bestanden	$\Sigma$
Mathe-Fan	15	5	20
kein Mathe-Fan	4	6	10
$\Sigma$	19	11	30

2. $P_{\text{Mathe-Fan}}(\text{bestanden}) = \dfrac{15}{20} = 0{,}75$

3. $P(\text{bestanden}) = \dfrac{19}{30} \approx 0{,}633$

Da $0{,}75 \neq 0{,}633$: nicht stochastisch unabhängig — Mathe-Fans bestehen häufiger.

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Lösung 2

1. $P_{\text{Sport}}(\text{gesund}) = \dfrac{95}{125} = 0{,}76$

$\quad P_{\text{kein Sport}}(\text{gesund}) = \dfrac{35}{75} \approx 0{,}467$

2. $P(\text{gesund}) = \dfrac{130}{200} = 0{,}65$

3. $P(\text{gesund}) \cdot P(\text{Sport}) = 0{,}65 \cdot \dfrac{125}{200} = 0{,}65 \cdot 0{,}625 = 0{,}40625$

$P(\text{gesund} \cap \text{Sport}) = \dfrac{95}{200} = 0{,}475 \neq 0{,}40625$

Nicht unabhängig. Sportliche Personen sind in dieser Stichprobe häufiger gesund.

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Lösung 3

	defekt	einwandfrei	$\Sigma$
$M_1$	12	288	300
$M_2$	6	194	200
$\Sigma$	18	482	500

2. $P_{M_1}(\text{defekt}) = \dfrac{12}{300} = 0{,}04$

$\quad P_{M_2}(\text{defekt}) = \dfrac{6}{200} = 0{,}03$

3. $M_1$ hat die höhere Defektquote (4 % vs. 3 %).

4. $P(\text{defekt}) = \dfrac{18}{500} = 0{,}036$

$P(\text{defekt}) \cdot P(M_1) = 0{,}036 \cdot 0{,}6 = 0{,}0216$

$P(\text{defekt} \cap M_1) = \dfrac{12}{500} = 0{,}024 \neq 0{,}0216$ → nicht unabhängig.

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Lösung 4

	Schlafstörung	keine	$\Sigma$
Kaffee	162	108	270
kein Kaffee	42	168	210
$\Sigma$	204	276	480

2. $P_{\text{Kaffee}}(\text{Schlafst.}) = \dfrac{162}{270} = 0{,}6$

$\quad P_{\text{kein Kaffee}}(\text{Schlafst.}) = \dfrac{42}{210} = 0{,}2$

3. $P(\text{Schlafst.}) = \dfrac{204}{480} = 0{,}425$

$P(\text{Schlafst.}) \cdot P(\text{Kaffee}) = 0{,}425 \cdot 0{,}5625 \approx 0{,}239$

$P(\text{Schlafst.} \cap \text{Kaffee}) = \dfrac{162}{480} = 0{,}3375 \neq 0{,}239$ → nicht unabhängig.

4. Kaffeekonsum und Schlafstörungen korrelieren in dieser Stichprobe — das beweist aber noch keine Kausalität.

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Lösung 5

1. $P(A \cap B) = P_B(A) \cdot P(B) = 0{,}75 \cdot 0{,}4 = 0{,}3$

2. Für $n = 1000$:

	$B$	$\bar{B}$	$\Sigma$
$A$	300	200	500
$\bar{A}$	100	400	500
$\Sigma$	400	600	1000

3. $P(A) \cdot P(B) = 0{,}5 \cdot 0{,}4 = 0{,}2 \neq 0{,}3 = P(A \cap B)$ → nicht unabhängig.

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Lösung 6

$n(\text{iOS}) = 600\,000$, $n(\text{Android}) = 400\,000$

$n(\text{Kauf} \cap \text{iOS}) = \tfrac{1}{3} \cdot 600\,000 = 200\,000$

$n(\text{Kauf} \cap \text{Android}) = \tfrac{1}{4} \cdot 400\,000 = 100\,000$

	Kauf	kein Kauf	$\Sigma$
iOS	200 000	400 000	600 000
Android	100 000	300 000	400 000
$\Sigma$	300 000	700 000	1 000 000

2. $P_{\text{iOS}}(\text{Kauf}) = \dfrac{200\,000}{600\,000} = \dfrac{1}{3}$

$\quad P(\text{Kauf}) = \dfrac{300\,000}{1\,000\,000} = 0{,}3$

3. $P(\text{Kauf}) \cdot P(\text{iOS}) = 0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}18$

$P(\text{Kauf} \cap \text{iOS}) = 0{,}2 \neq 0{,}18$ → nicht unabhängig.

iOS-Nutzer kaufen häufiger, auch wenn der Unterschied klein wirkt.

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Lösung 7

1. $P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12} = P(A \cap B)$ ✓

Stochastisch unabhängig — ohne $n$ zu kennen.

2. $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{1/12}{1/4} = \dfrac{1}{3}$

$\quad P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{1/12}{1/3} = \dfrac{1}{4}$

3. $P_B(A) = \dfrac{1}{3} = P(A)$ — das Eintreten von $B$ ändert die Wahrscheinlichkeit von $A$ nicht. Das ist genau die Definition stochastischer Unabhängigkeit.