Ableitungen — Tangente, Normale und Extrempunkte

Klasse 11

Aufgaben

Aufgabe 1

L

Gegeben ist $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

1. Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt mit $x_0 = 1$.
2. Bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt mit $x_0 = 0$.

Gegeben ist außerdem $f_2(x) = -x^3 + 4x$.

3. Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f_2$ im Punkt mit $x_0 = 1$.
4. Bestimme die Gleichung der Normalen an den Graphen von $f_2$ im Punkt mit $x_0 = 1$.

Aufgabe 2

L

Berechne die Ableitung für $$g(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - x + 5.$$ Dann leite die Ableitungsfunktion ab und ebenso die wiederum daraus resultierende Funktion.

Hinsweis: Man schreibt dazu dann $g'(x)$, $g''(x)$ und $g'''(x)$. Dann ist $g'''(x)$ die Ableitung von der Ableitung der Ableitung von $g(x)$.

Aufgabe 3

L

Berechne die Ableitung $p'(x)$ von

$$p(x) = 7x^{15} - \tfrac{3}{2}x^{12} + 4x^{10} - x^9 + 6x^7 - 2x^5 + \tfrac{1}{3}x^4 - 8x^3 + 5x - 9.$$

Aufgabe 4

L

Der Spieler „NoobSlayer99” berechnet seinen Schaden pro Sekunde in Abhängigkeit von seinem Level $x$: $$D(x) = 3x^4 - 40x^3 + \tfrac{3}{2}x^2 + 100x$$

1. Berechne $D'(x)$.
2. Berechne $D'(1)$ und interpretiere das Ergebnis: Mit welcher Rate verändert sich sein Schaden, wenn er von Level 1 auf Level 2 aufsteigt?

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Lösungen

Grundidee

Die Ableitung $f'(x)$ gibt die Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $x$ an. Für Polynome gelten drei Rechenregeln:

Regel	Formel
Potenzregel	$(x^n)' = n\cdot x^{n-1}$
Faktorregel	$(c\cdot f(x))' = c\cdot f'(x)$
Summenregel	$(f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x)$

Tangentengleichung an der Stelle $x$: $$t\colon\; y = f'(x_0)\cdot(x) + t$$ t kann durch einsetzen des gegebenen Punktes berechnet werden, wenn die Steigung $m$ bereits errechnet wurde.

Normalengleichung an der Stelle $x_0$ (senkrecht zur Tangente, falls $f'(x_0)\neq 0$): $$n\colon\; y = -\frac{1}{f'(x_0)}\cdot(x - x_0) + f(x_0)$$

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Lösung 1

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$, $\quad f'(x) = 3x^2 - 6x$

a) $x_0 = 1$: $$f(1) = 1 - 3 + 2 = 0,\qquad f'(1) = 3 - 6 = -3$$ $$t\colon y = -3(x-1) + 0 = -3x + 3$$

b) $x_0 = 0$: $$f(0) = 2,\qquad f'(0) = 0$$ $$t\colon y = 2 \quad \text{(waagerechte Tangente — lokales Maximum)}$$

$f_2(x) = -x^3 + 4x$, $\quad f_2'(x) = -3x^2 + 4$

c) Tangente bei $x_0 = 1$: $$f_2(1) = -1 + 4 = 3,\qquad f_2'(1) = -3 + 4 = 1$$ $$t\colon y = 1\cdot(x-1) + 3 = x + 2$$

d) Normale bei $x_0 = 1$ (Tangentensteigung $1$, also Normalensteigung $-1$): $$n\colon y = -1\cdot(x-1) + 3 = -x + 4$$

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Lösung 2 — $g(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - x + 5$

$$g'(x) = 12x^3 - 24x^2 + 12x - 1$$ $$g''(x) = 36x^2 - 48x + 12$$ $$g'''(x) = 72x - 48$$

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Lösung 3 — $p(x) = 7x^{15} - \tfrac{3}{2}x^{12} + \cdots - 9$

Jedes Glied wird einzeln mit der Potenz- und Faktorregel abgeleitet, die Konstante $-9$ fällt weg:

$$p'(x) = 105x^{14} - 18x^{11} + 40x^9 - 9x^8 + 42x^6 - 10x^4 + \tfrac{4}{3}x^3 - 24x^2 + 5$$

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Lösung 4 — $D(x) = 3x^4 - 40x^3 + \tfrac{3}{2}x^2 + 100x$

a) $$D'(x) = 12x^3 - 120x^2 + 3x + 100$$

b) $$D'(1) = 12 - 120 + 3 + 100 = -5$$

Von Level 1 auf 2 sinkt sein Schaden um 5. NoobSlayer99 wird mit dem Aufsteigen zunächst schwächer.