Mathematik am Gymnasium — Themenübersicht

Klasse 10–13 · Bayern

Klasse 10

M10.1 Exponentielles Wachstum und Logarithmus

• Exponentialfunktionen der Form $b \cdot a^x$, Wachstums- und Zerfallsprozesse
• Logarithmus als Umkehrung der Exponentialfunktion
• Reale Anwendungen (Zinsrechnung, Halbwertszeit)

M10.2 Zusammengesetzte Zufallsexperimente

• Mehrstufige Zufallsexperimente, Baumdiagramme, Pfadregeln
• Simulation und Monte-Carlo-Methode

M10.3 Sinus- und Kosinusfunktion

• Bogenmaß, Einheitskreis
• Sinus und Kosinus als periodische Funktionen
• Transformationen: $a \cdot \sin(b(x+c))+d$
• Modellierung periodischer Vorgänge

M10.4 Ganzrationale Funktionen

• Ganzrationale Funktionen als Summe von Potenzfunktionen
• Nullstellen, Symmetrie, Kurvendiskussion
• Polynomdarstellung und Grad

M10.5 Fortführung der Raumgeometrie

• Pyramide, Kegel, Zylinder, Kugel: Volumen und Oberfläche
• Anwendungen mit Trigonometrie

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Klasse 11

M11.1 Spezielle Eigenschaften von Funktionen (ca. 14 Std.)

• Grenzverhalten für $x \to \pm\infty$
• Symmetrie (Achsen-, Punktsymmetrie)
• Verschiebung, Streckung, Spiegelung von Funktionsgraphen
• Stetigkeit und Unstetigkeit

M11.2 Gebrochen-rationale Funktionen (ca. 15 Std.)

• Definitionsmenge, Nullstellen, Polstellen
• Asymptoten (waagrecht, schräg, senkrecht)
• Analyse und Kurvendiskussion
• Bruchgleichungen

M11.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Stochastik (ca. 15 Std.)

• Bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$, Baumdiagramme
• Vierfeldertafel
• Stochastische Unabhängigkeit
• Korrelation vs. Kausalität

M11.4 Grundlagen der Differentialrechnung (ca. 37 Std.)

• M11.4.1 Lokales und globales Differenzieren (ca. 19 Std.)
  • Differenzenquotient, mittlere Änderungsrate
  • Differentialquotient, Tangentensteigung
  • Ableitungsfunktion, Ableitungsregeln (Potenz-, Faktor-, Summen-, Produkt-, Ketten-, Quotientenregel)
• M11.4.2 Anwendung bei ganzrationalen Funktionen (ca. 18 Std.)
  • Monotonie, Extremstellen (notwendige und hinreichende Bedingungen)
  • Krümmungsverhalten, Wendestellen
  • Newton-Verfahren

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Klasse 12

Regulärer Kurs

M12.1 Funktionsuntersuchung — Stammfunktion, Produkt- und Kettenregel (ca. 33 Std.)

• M12.1.1 Ganzrationale Funktionen mit Parametern (ca. 8 Std.)
  • Kurvendiskussion mit Differentialrechnung, Funktionsscharen
  • Stammfunktionen aus Graph und Funktionsterm erschließen
• M12.1.2 Natürliche Exponentialfunktion (ca. 20 Std.)
  • $e^x$ als Funktion, bei der Funktionsterm und Ableitung übereinstimmen
  • Produkt- und Kettenregel, Exponentialgleichungen
  • Wachstums- und Zerfallsprozesse modellieren
• M12.1.3 Sinus- und Kosinusfunktionen (ca. 5 Std.)
  • Ableitungen graphisch begründen
  • Einfache Kombinationen mit linearen Funktionen untersuchen

M12.2 Zufallsgrößen und Binomialverteilung (ca. 22 Std.)

• Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
• Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung
• Urnenmodelle (mit/ohne Zurücklegen), Bernoulli-Ketten
• Binomialverteilung $B(n;\,p)$

M12.3 Einseitiger Signifikanztest (ca. 8 Std.)

• Hypothesentests, Ablehungsbereiche bei gegebenem Signifikanzniveau
• Fehler 1. und 2. Art
• Ergebnisse im Sachzusammenhang interpretieren

M12.4 Funktionsuntersuchung — Quotientenregel und Umkehrfunktionen (ca. 29 Std.)

• M12.4.1 Rationale Funktionen (ca. 12 Std.)
  • Quotientenregel, Kurvendiskussion gebrochenrationaler Funktionen
• M12.4.2 Wurzelfunktionen (ca. 9 Std.)
  • Umkehrfunktionen, Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten
• M12.4.3 Natürliche Logarithmusfunktion (ca. 8 Std.)
  • $\ln x$ als Umkehrung von $e^x$, Ableitung, Grenzverhalten

M12.5 Koordinatengeometrie im Raum (ca. 20 Std.)

• Punkte und Figuren im kartesischen Koordinatensystem
• Vektoroperationen (Addition, Subtraktion, Skalarmultiplikation)
• Skalarprodukt, Winkel, Orthogonalität
• Vektorprodukt: orthogonale Vektoren, Flächen- und Volumenberechnungen

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Vertiefungskurs (eigenständige Wahlmodule — Lehrkraft wählt 3 von 5)

V12.1 Komplexe Zahlen

• Erweiterung der reellen Zahlen, algebraische und Polarform
• Grundrechenoperationen, geometrische Interpretation
• Quadratische Gleichungen, $n$-te Einheitswurzeln
• Mandelbrot-Menge (Einblick)

V12.2 Folgen und Reihen

• Vollständige Induktion
• Explizite und rekursive Folgendefintionen, Grenzwerte, Konvergenz
• Reihen, geometrische Reihen
• Taylorpolynome (Grundidee)
• Euler’sche Zahl $e$

V12.3 Matrizen

• Übergangsprozesse und Modellierung
• Lineare Gleichungssysteme mit Matrizen
• Matrizenoperationen, Multiplikation, Inverse
• Fixvektoren, absorbierende Zustände, Wahrscheinlichkeitsberechnungen

V12.4 Zahlentheorie und Kryptologie

• Euklidischer Algorithmus
• Modulare Arithmetik, Chinesischer Restsatz
• Kleiner Satz von Fermat
• RSA-Verschlüsselung
• Primalitätstests, Faktorisierungsmethoden

V12.5 Statistik

• Messskalen, Variablentypen
• Lineare Regression, Korrelationsanalyse
• Chi-Quadrat-Test, $t$-Test
• Kritische Bewertung von Datendarstellungen

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Klasse 13

M13.1 Flächeninhalt und bestimmtes Integral (ca. 26 Std.)

• Integralfunktionen, Hauptsatz
• Stammfunktionen, Rechenregeln
• Flächeninhalte, Flächenbilanzen
• Uneigentliche Integrale
• Rotationsvolumina

M13.2 Normalverteilung (ca. 14 Std.)

• Diskrete vs. stetige Zufallsgrößen
• Eigenschaften der Normalverteilung
• $\sigma$-Regeln, Wahrscheinlichkeitsberechnungen
• Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

M13.3 Geraden und Ebenen im Raum (ca. 24 Std.)

• Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen
• Normalenform, Koordinatenform
• Lagebeziehungen (Schnitt, Parallelität, Identität)
• Abstände (Punkt–Ebene, Punkt–Gerade, Gerade–Ebene)
• Kugeln im Raum

M13.4 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung (ca. 20 Std.)

• Parameterabhängige Funktionen, Ortskurven
• Optimierungsaufgaben
• Reale Anwendungen aus Naturwissenschaften und Wirtschaft

Quelle: LehrplanPLUS Gymnasium — Mathematik (ISB)