Ableitungsregeln

Klasse 11

Grundregeln

Regel	Funktion	Ableitung
Potenzregel	$f(x) = x^n$	$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$
Faktorregel	$f(x) = c \cdot g(x)$	$f'(x) = c \cdot g'(x)$
Summenregel	$f(x) = g(x) + h(x)$	$f'(x) = g'(x) + h'(x)$
Produktregel	$f(x) = g(x) \cdot h(x)$	$f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$
Quotientenregel	$f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}$	$f'(x) = \dfrac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}$
Kettenregel	$f(x) = g(h(x))$	$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$

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Elementare Ableitungen

Funktion	Ableitung	Bemerkung
$c$	$0$	Konstante
$x^n$	$n\,x^{n-1}$	$n \in \mathbb{R}$
$e^x$	$e^x$
$e^{kx}$	$k\,e^{kx}$	Spezialfall Kettenregel
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x > 0$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$

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Kettenregel — Aufbau erkennen

Die Kettenregel gilt, wenn eine Funktion in eine andere eingesetzt ist: $f(x) = g(\underbrace{h(x)}_{\text{innen}})$.

Vorgehen: äußere Funktion ableiten, innere Funktion stehen lassen, dann mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren.

$f(x)$	äußere Funktion $g$	innere Funktion $h$	$f'(x)$
$(3x+1)^5$	$u^5$	$3x+1$	$5(3x+1)^4 \cdot 3$
$e^{x^2}$	$e^u$	$x^2$	$e^{x^2} \cdot 2x$
$\sin(2x)$	$\sin u$	$2x$	$\cos(2x) \cdot 2$
$\ln(x^2+1)$	$\ln u$	$x^2+1$	$\dfrac{1}{x^2+1} \cdot 2x$

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Produktregel — wann nötig?

Immer wenn zwei von $x$ abhängige Faktoren multipliziert werden und keine der Regeln allein ausreicht.

$f(x)$	$g(x)$	$h(x)$	$f'(x)$
$x^2 \cdot e^x$	$x^2$	$e^x$	$2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x$
$x \cdot \sin x$	$x$	$\sin x$	$\sin x + x \cos x$
$x^3 \cdot \ln x$	$x^3$	$\ln x$	$3x^2 \ln x + x^3 \cdot \dfrac{1}{x}$

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Häufige Fehler

• Potenzregel auf $e^x$ anwenden — falsch: $e^x$ bleibt $e^x$, nicht $x \cdot e^{x-1}$
• Kettenregel vergessen bei $e^{2x}$, $\sin(3x)$ o.ä. — der innere Faktor fehlt dann in der Ableitung
• Faktorregel mit Produktregel verwechseln — die Faktorregel gilt nur, wenn einer der Faktoren eine Konstante ist